Las ecuaciones macroscópicas de Maxwell pueden expresarse en términos de formas diferenciales como $$\mathrm{d}\mathrm{F}=0,\quad\delta \mathrm{D}=j\implies \delta j=0,\quad \mathrm{D}=\mathrm{F}+\mathrm{P}.$$ $\mathrm{F}$ , $\mathrm{D}$ y $\mathrm{P}$ son 2 formas; $j$ es una forma 1. $\mathrm{F}$ es el $electromagnetic\ field$ que tiene componentes de 3 vectores $E_i,B_i$ que suele denominarse $electric\ field$ y el $magnetic\ field$ ; $\mathrm{D}$ es un campo electromagnético generalizado, generalizado en el sentido de que $\mathrm{dD}\not=0$ que tiene componentes de 3 vectores $D_i,H_i$ llamada, entre otros nombres, la $electric\ displacement\ field$ y el $magnetizing\ field$ ; $j$ es una 4-corriente conservada; y $\mathrm{P}$ es la polarización/magnetización electromagnética, que tiene componentes de 3 vectores $P_i,M_i$ hasta un factor $\pm 1$ El $polarization$ y el $magnetization$ que en la forma macroscópica de las ecuaciones de Maxwell modelan los grados de libertad internos, mientras que en la forma microscópica de las ecuaciones de Maxwell tenemos $\mathrm{P}=0$ . En Ecuación de Maxwell Página Wiki junto con sus numerosos enlaces, hace un trabajo razonable de resumen de todo esto.
En QED, existen grados de libertad internos asociados al campo de Dirac, por lo que deberíamos trabajar con $\mathrm{D}$ cuando cuantizamos? Clásicamente, dado un campo bivectorial diferenciable como $\mathrm{D}$ existe inevitablemente una corriente 4 conservada $\delta \mathrm{D}$ a menos que las ecuaciones de movimiento sean tales que esta cantidad sea idénticamente cero. [Editar, para reflejar el comentario de Cristi Stoica] Dada una 2-forma arbitraria tal como $\mathrm{D}$ , si Se podría aplicar la descomposición de Hodge, podríamos descomponer $\mathrm{D}$ únicamente como $$\mathrm{D}=\mathrm{dA}+(\mathrm{D}-\mathrm{dA}).$$ Para el espacio de Minkowski, estas descomposiciones son posibles pero son no única porque no existe una forma bilineal positiva-definida en el espacio de funciones; para el componente del cono de luz delantero $\mathrm{D}^+$ la descomposición puede restringirse minimizando la integral semidefinida positiva $$\int [\widetilde{\delta(\mathrm{D}-dA)}]_\mu(k)[\widetilde{\delta(\mathrm{D}-dA)}]^\mu(k)\theta(k^2)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ y de forma similar para el cono de luz hacia atrás, pero no existe tal restricción para los componentes espaciales. Visto así, el campo electromagnético $\mathrm{F}$ es sólo un componente del objeto real de interés, $\mathrm{D}$ que puede expresarse como $\mathrm{F}=\mathrm{dA}$ por lo que, inevitablemente, $\mathrm{dF}=0$ . El componente no único $\mathrm{D}-\mathrm{dA}=\mathrm{P}$ de $\mathrm{D}$ no puede expresarse en términos de un único potencial. [Fin de la edición -- construido un poco en el momento por lo que puede tener que ser modificado].
Si $\mathrm{D}$ se considera el verdadero objeto de interés, con $\delta\mathrm{D}=j$ un grado de libertad independiente, entonces ¿significa eso que debemos buscar ecuaciones diferenciales de segundo orden para $\mathrm{D}$ en primer lugar, probablemente en asociación con grados de libertad adicionales, en vista de los grados de libertad adicionales que están presentes en el Modelo Estándar?
Debo señalar que, a efectos de esta pregunta, considero que la función de onda de Dirac no es observable en la teoría clásica Maxwell-Dirac, con $\overline{\psi(x)}\psi(x)$ , $(\delta\mathrm{D})^\mu=j^\mu=\overline{\psi(x)}\gamma^\mu\psi(x)$ , $\overline{\psi(x)}\gamma^{[\mu}\gamma^{\nu]}\psi(x)$ , $\overline{\psi(x)}\gamma^{[\mu}\gamma^\nu\gamma^{\rho]}\psi(x)$ y $\overline{\psi(x)}\gamma^5\psi(x)$ que son observables (no independientes) de forma 0, 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
Esto casi no es una pregunta, por lo que pido disculpas, sin embargo estoy interesado en cualquier crítica de detalles o de cualquier plan mínimamente elaborado que pueda parecer haber aquí, o en cualquier referencia que parezca pertinente. Las ideas se sitúan en cierto modo en el mismo territorio que una pregunta mía anterior, Invariancia gauge para observables de potencial electromagnético en forma de función de prueba en el sentido de que prefiero rechazar los campos inobservables a menos que haya razones absolutamente claras por las que sean inevitables.
