Estoy tratando de obtener la ecuación de vorticidad y me quedé atrapado al intentar demostrar la siguiente relación utilizando el índice de notación: $$ {\rm curl}((\textbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}) = (\mathbf{u}\cdot\nabla)\pmb\omega - ( \pmb\omega \cdot\nabla)\mathbf{u} $$ teniendo en cuenta que el fluido es incompresible $\nabla\cdot\mathbf{u} = 0 $, $\pmb \omega = {\rm curl}(\mathbf{u})$ y que $\nabla \cdot \pmb \omega = 0.$
Aquí sigue lo que he hecho hasta ahora: $$ (\textbf{u}\cdot\nabla) \mathbf{u} = u_m\frac{\partial u_i}{\partial x_m} \mathbf{e}_i = a_i \mathbf{e}_i \\ {\rm curl}(\mathbf{a}) = \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j} \mathbf{e}_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j}\left( u_m\frac{\partial u_k}{\partial x_m} \right) \mathbf{e}_i = \\ = \epsilon_{ijk}\frac{\partial u_m}{\partial x_j}\frac{\partial u_k}{\partial x_m} \mathbf{e}_i + \epsilon_{ijk}u_m \frac{\partial^2u_k}{\partial x_j \partial x_m} \mathbf{e}_i \\ $$
el segundo término $\epsilon_{ijk}u_m \frac{\partial^2u_k}{\partial x_j \partial x_m} \mathbf{e}_i$ parece ser el primer término "$(\mathbf{u}\cdot\nabla)\pmb\omega$" de los anteriormente mencionados identidad. ¿Alguien tiene una idea de cómo obtener el segundo término?
