La expectativa sobre un intervalo de tiempo infinitesimal

Question

Tengo una deducción que me gustaría formalizar (supongo que con algo de teoría de la medida):

Deje $N(t)\sim Pois(\lambda_t)$ donde $\lambda_t$ es estocástica (por lo tanto, estamos buscando a un Cox proceso). Definir $\mathcal{G}_t$ como la filtración de tomar en cuenta todo el conocimiento hasta el tiempo de $t$, luego

\begin{equation} \mathbb{E}\left[dN(t)\bigg|\mathcal{G}_t\right]=1-e^{-\lambda_t dt}=(1-(1-\lambda_tdt))=\lambda_tdt. \end{equation}

El razonamiento detrás de la deducción es que el $dN(t)$ es la probabilidad de que un evento se produce en el intervalo de tiempo infinitesimal $dt$. La probabilidad de que no tiene ningún valor predeterminado dentro del intervalo de tiempo $[a,b]\in\mathbb{R}$ está dado por

\begin{equation} \mathbb{E}\left[e^{-\int_a^b\lambda_sds}\right] \end{equation}

y la intuición detrás de la deducción tiene sentido. Sin embargo creo que no es formalmente correcta. Supongo que simplemente no podemos trabajar así con términos como"$dt$$dN(t)$. ¿Usted tiene alguna sugerencia sobre cómo formalizar esta?

Gracias!!

Answer 1

Ver, por ejemplo, la diapositiva 6 aquí para una precisa martingala caracterización. Por ejemplo, si $M_t := N_t - \Lambda_t$ con $$ \Lambda_t:=\int_0^t \lambda_s\mathrm ds $$ es una martingala, entonces $$ \begin{align} \Bbb E\left[N_{t+h} - N_t|\mathcal G_t\right] &= \Bbb E\left[M_{t+h} - M_t|\mathcal G_t\right] + \Bbb E\left[\Lambda_{t+h} - \Lambda_t|\mathcal G_t\right] \\ &= \int_t^{t+h} \Bbb E\left[\lambda_s|\mathcal G_t\right]\mathrm ds \approx \lambda_t\cdot h \end{align} $$ para $h$ bastante pequeño, lo que justifica la idea detrás de esta definición formal. Creo que cualquier libro sobre el conteo de los procesos que se han relacionado con el material, sin embargo, yo no soy realmente consciente de determinadas referencias.