Integrar : $\int \frac{\sin x}{\sin4x} \,dx$

Question

La integración de las siguientes :

$$\int \frac{\sin x}{\sin4x}dx$$

Mi planteamiento :

$$=\int \frac{\sin x}{2\sin2x \cos2x}dx$$

$$= \int \frac{\sin x}{4\sin x \cos x \cos2x}dx$$ $$= \int \frac{1}{4\cos x \cos2x}dx $$ [ no conseguir la pista aquí ] entonces me hizo la siguiente manera.

$$= \int \frac{\sin x}{4\sin x \cos x (\cos2x) }dx$$

Poniendo ahora $\cos x =t$ $\Rightarrow -\sin x \, dx = dt $

$$= \int \frac{-dt}{4\sqrt{1-t^2} t(2t^2-1)}$$ [U\sing : $ \cos2x = 2\cos^2x-1]$ No llegar a la pista, por favor ayuda gracias..

Answer 1

Desde el paso antes de que el último paso que ha tenido como:

$$\eqalign{\int\frac{dx}{\cos x\cos2x} &= \int\frac{dx}{\cos x(2(\cos x)^2 - 1))}\cr & = \int\frac{1}{\cos x} - \frac{2\cos x}{(2(\cos x)^2 - 1)}dx\cr & = \int\frac{1}{\cos x} - \frac{2\cos x}{1 - 2(\sin x)^2}dx\ .\cr}$$

A partir de ahora usted puede integrar 1/cosx = secx y su antiderivada es bien conocida.

El segundo término: u = sinx, entonces du = cosxdx, y el uso fration descomposición para continuar.

Answer 2

$$\frac1{\cos x\cos2x}=\frac{\cos x}{\cos^2x(\cos2x)}=\frac{\cos x}{(1-\sin^2x)(1-2\sin^2x)} $$

Establecimiento $\displaystyle\sin x=u$ $\displaystyle I=\int\frac{dx}{\cos x\cos2x},$

$\displaystyle I=\int\frac{du}{(1-u^2)(1-2u^2)} =\frac12\int\frac{du}{(1-u^2)\left(\dfrac12-u^2\right)} $

$\displaystyle I=\frac22\int\frac{(1-u^2)-\left(\dfrac12-u^2\right)}{(1-u^2)\left(\dfrac12-u^2\right)}du=\int\frac{du}{1-u^2}-\int\frac{du}{\dfrac12-u^2}$

Se puede llevar a casa desde aquí?