Puedo ver que su propiedad no tiene en $\mathbb{Z}$. De hecho, se sostiene en ningún director de ideal de dominio, e incluso en cada dominio de Dedekind.
[Edit: Como se ha señalado por Rasmus a continuación, para la conmutativa caso, la propiedad es equivalente a la del anillo de ser aritmética. Esto es porque aritmética de los anillos son definidos por la distribución de celosía de propiedad del estado en (2) a continuación. Así, para la integral de dominios, la propiedad es equivalente a la del anillo de ser Prüfer. Esto ciertamente incluye a todos los dominios de Dedekind y, en el caso de Noetherian dominios, es en realidad equivalente a la del anillo de ser Dedekind.]
Creo que es igual de fácil es comenzar con un anillo arbitrario $R$. La elección de cualquiera de $x\in\bigoplus_kI_k$ tal que $g(x)=0$, luego tenemos a $x_1=-\sum_{k\ge2}x_k\in I_1\cap\sum_{k\ge2}I_k$. Por el contrario, si $x_1\in I_1\cap\sum_{k\ge2}I_k$, entonces esto puede ser extendido a un $x\in\bigoplus_kI_k$$g(x)=0$.
Queremos que esto significa que no existe un $y\in\bigoplus_{j < k}I_j\cap I_k$$f(y)=x$. Esto implica que $x_1=\sum_{k\ge2}y_{1k}\in\sum_{k\ge2}I_1\cap I_k$. Así, una condición necesaria para la secuencia dada para ser exactos, en el medio es que
$$
I_1\cap\sum_{k=2}^nI_k\subseteq\sum_{k=2}^nI_1\cap I_k.\qquad\qquad{\rm(1)}
$$
El reverso de la inclusión es inmediata para cualquier anillo. En particular, considerando $n=3$ da la condición necesaria
$$
I\cap(J+K)=I\cap J+ I\cap K,\qquad\qquad{\rm(2)}
$$
para todos los ideales de a $I,J,K\subseteq R$. De hecho, esta es una condición necesaria y suficiente. Se puede observar que su condición original y (2) son sólo declaraciones acerca de una colección de subgrupos de un grupo abelian (aquí, el grupo es $R$ bajo la suma y de los subgrupos son los ideales). De hecho, usted está pidiendo cuando el primer grupo de homología de un determinado complejo de cadena se desvanece (al igual que en Cech cohomology). Además, (2) es lo mismo que decir que los ideales forman una celosía distributivo $({\rm Id}_R,+,\cap)$. Sin embargo, no soy experto en esto, y no sabemos cuál es el nombre de los anillos de la satisfacción de su condición particular es (Edit: En la conmutativa caso, estos son aritmético de los anillos como se mencionó anteriormente y en un comentario más abajo).
A ver que (2) implica (1), el uso de la inducción de $n\ge2$,
$$
I_1\cap\sum_{k=2}^nI_k=I_1\cap\sum_{k=2}^{n-1}I_k+I_1\cap I_n=\sum_{k=2}^nI_1\cap I_k.
$$
A ver que (1) implica exactitud, considere la posibilidad de $x\in\bigoplus_kI_k$$g(x)=0$. A continuación, $x_n\in I_n\cap\sum_{k < n}I_k=\sum_{k < n}I_k\cap I_n$. Por lo tanto, habrá un $y\in\bigoplus_{j < k}I_j\cap I_k$$y_{jk}=0$$j < k < n$$f(y)_n=x_n$. La sustitución de $x$ $\tilde x=x-f(y)$ se reduce al caso con $\tilde x_n=0$, por lo que la exactitud de la siguiente manera por inducción en $n$.
Finalmente, (2) sostiene que en cualquier dominio de Dedekind. Está claro que si alguno de $I,J,K$ son cero, así que supongo que son diferentes de cero. Para cualquier ideal $I$ y un valor distinto de cero el primer ideal $\mathfrak{p}$, escribir $v_{\mathfrak{p}}(I)$ para el índice de $\mathfrak{p}$ en la factorización de $I$ ($\mathfrak{p}$- ádico de valoración). Dos a cero ideales $I,J$ son iguales si y sólo si $v_{\mathfrak{p}}(I)=v_{\mathfrak{p}}(J)$ para todos los números primos $\mathfrak{p}$. A continuación, el uso de $v_{\mathfrak{p}}(I+J)=\min(v_{\mathfrak{p}}(I),v_{\mathfrak{p}}(J))$ $v_{\mathfrak{p}}(I\cap J)=\max(v_{\mathfrak{p}}(I),v_{\mathfrak{p}}(J))$ implica que (2) se mantiene.
