¿Por qué ¿propiedades física cuántica vienen en pares?

Question

¿Por qué ¿propiedades física cuántica vienen en pares, regidos por el principio de incertidumbre (es decir, posición y momentum?)

¿Por qué no en grupos de tres, cuatro, etc..?

Answer 1

La dualidad es una dualidad debido a la noción canónica de la conjugación de la mecánica clásica.

La razón la gente dicen que vienen en pares no tiene nada que ver con la mecánica cuántica, pero con la estructura de la mecánica clásica. En la mecánica clásica, para darle las condiciones iniciales de un sistema, usted necesita dar a la posición inicial de todo, y también el impulso inicial. La clásica variables vienen en pares. Estos pares se llaman canónicamente conjugadas, debido a que tienen la propiedad de que su tasa de tiempo de cambio de uno le es dado por la derivada de la energía con respecto a la otra.

La descripción cuántica es sólo para wavefunctions que varían a través de los valores de uno de los dos canónicamente conjugadas pares. El otro no es de libre especificado, la función de onda, que da a su descripción cuántica puede ser derivada de la primera.

La gente se expresa el fracaso de la mecánica clásica diciendo que la mitad de todos los datos iniciales se relaciona con la incertidumbre a la otra mitad. Este es el quantum de la dualidad. Esta idea fue importante históricamente, porque podría explicar cómo las ecuaciones clásicas podría ser abordado en la mecánica cuántica, sin cambios, mientras que las predicciones se convirtió en probabilístico. La gente hizo analogías con el caso de que tenga un clásico partícula cuya posición y momentum son desconocidos, y obedecer la relación de Heisenberg. La mecánica cuántica es completamente diferente en el que la presencia en la diferente posición de los estados es parametrizadas por amplitudes de probabilidad, no de probabilidades. Pero la descripción es siempre en la mitad del espacio de fase variables.

La incertidumbre en la posición/velocidad es directamente análoga a la incertidumbre en la posición angular/angular momentum, en la incertidumbre de la fase de un modo de campo y número de partículas de ese modo, y en todos los demás canónicamente cojugate par. Los estados de posición definida también son inciertas de la energía, porque la energía y la posición no conmuta, pero nadie llama a esto una dualidad, ya que la energía y la posición no son canónicamente conjugadas.

También debo señalar que la energía/tiempo de principio de incertidumbre, que es difícil pensar en términos de la canónica de pares habitual en las formulaciones de QM, debido a que las partículas no tienen un tiempo asociado a ellos, pero de todas las partículas tienen un tiempo global. En Schwinger/Feynman partícula formalismos esto es de cuidado, pero la incertidumbre de la relación puede ser elaborado en cualquier formalismo de curso. Esta incertidumbre relación no podría ser llamado una dualidad por algunos, no sé.

Answer 2

Buena pregunta! Para las propiedades relacionadas con el principio de incertidumbre, hay dos razones por las que vienen en pares:

1. Intuitivamente, el principio de incertidumbre se refiere a la varianza de una función a la variación de su transformada de Fourier. Y, hasta hace un par de factores numéricos, la transformada de Fourier de una transformada de Fourier es la función original. (Los matemáticos se resisten a esta declaración, porque no es técnicamente cierto, pero conceptualmente es lo suficientemente preciso para mis propósitos aquí.) Así, el proceso de Fourier de la conjugación lleva a través de un ciclo de dos funciones.

2. Matemáticamente, el principio de incertidumbre se basa en los conmutadores, es decir, que

   $$\sigma_A \sigma_B \ge \biggl|\frac{1}{2}\langle[a,B]\rangle\biggr|$$

   y que en realidad no hacen mucho sentido para calcular el colector de tres o más operadores, ya que hay varias maneras en que usted puede reordenarlos.

Answer 3

1) ya Hay muchas buenas respuestas explicando la teoría convencional y observaciones. No obstante, relativa a los comentarios por lurscher y Adam Zalcman, parece apropiado mencionar la Nambu soporte, que es una de Poisson como soporte

$$ \{ f,g,h \} $$

con 3 función de las entradas, originalmente inventado por Nambu en 1973, supuestamente, en un fallido intento de explicar el $SU(3)$ simetría de los quarks. Ya Nambu describe un operador 3-soporte

$$ [\hat{f},\hat{g},\hat{h}], $$

y uno puede imaginar algún tipo de incertidumbre en relación asociado a este, donde las variables canónicas vienen en triples. Por desgracia, el sujeto hasta el momento se ha quedado sólo especulaciones teóricas. [Autores incluso no estar de acuerdo en lo que debe reemplazar a la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson de $\{ f,g\}$, aunque la mayoría piensa que debe ser el llamado Filippov fundamental de la Identidad (FI).]

2) Recientemente, en 2008, la Nambu-soporte ha sido utilizado en la Bagger–Lambert–Gustavsson M2 brane propuesta.

3) La existencia de diversas generalizaciones de mayor Nambu soportes

$$ \{ f_1,\ldots ,f_n \} $$

con $n$ de las entradas.

4) Para obtener más información, consulte esta reciente revisión.

Answer 4

Creo que esto tiene que ver con el hecho de que uno es el generador infinitesimal de la otra (es decir p es el generador de posición). Si no me equivoco, conmutadores ocurren naturalmente cuando generamos una álgebra de mentira (no completamente seguro de esto).

Answer 5

La generalización de la incertidumbre de los principios se refiere a cualquier dos observables (véase, por ejemplo la de Schrödinger, la incertidumbre de la relación).

Probablemente puede ser generalizado a más de dos observables, posiblemente a partir de $$ \langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\langle z,z\rangle \geq \frac13 \left(\langle x,x\rangle|\langle y,z\rangle|^2 + \langle y,y\rangle|\langle x,z\rangle|^2 + \langle z,z\rangle|\langle x,y\rangle|^2\right) $$ en lugar de la recta de Cauchy-Schwarz en el caso de tres variables observables, pero esto es sólo una conjetura de mi parte, yo no marque ninguna literatura.

Con esto se relacionan canónicamente conjugadas observables como $x,p_x$, para que el clásico principio de incertidumbre tiene porque se rigen por la relación de conmutación $$ [x,p_x]=i\manejadores $$ correspondiente a la fundamental de Poisson soporte $$ \{x,p_x\}=1 $$ de la mecánica clásica.

Sin embargo, estos observables no son los habituales: En particular, la observables $x$ corresponde a una de coordenadas de la base del espacio de configuración.

En la mecánica clásica, la existencia de un conjugado impulso se sigue de la estructura simpléctica del espacio de fase, en la mecánica cuántica, se sigue de las propiedades de la transformada de Fourier en nuestro espacio de estado $L^2$.