Es allí una Manera de Pensar de la Matriz Adjunta Invariantly.

Question

Dada una matriz cuadrada a $M$ con las entradas de un campo de $F$, la adjunta de a $M$ se define como la transposición de la cofactor de la matriz.

Hay una interpretación de este concepto en términos de los operadores lineales en espacios vectoriales?

Como un ejemplo de lo que estoy tratando de preguntar, considerar la operación de tomar la transpuesta de una matriz (con las entradas de un campo). Esto puede ser pensado en términos de la linealidad de los operadores de la siguiente manera:

Deje $T:V\to V$ ser un operador lineal en un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$. Definimos la transposición de $T$ como el lineal mapa de $T^t:V^*\to V^*$ que envía a un miembro de la $\omega\in V^*$ a los estados $(v\mapsto \omega(Tv))$$V^*$. Ahora si $\mathcal B$ es una base de $V$ $M$ es la representación de la matriz de $T$ con respecto a la base $\mathcal B$, entonces la representación de la matriz de $T^t$ con respecto a la base dual de $\mathcal B$ es igual a la matriz transpuesta de a $M$.

Answer 1

Supongamos $T:V \to V$ donde $V$ $n$- dimensional. Esto induce un mapa de $T^\sharp:\Lambda^{(n-1)}(V^*) \to \Lambda^{(n-1)}(V^*)$. donde $V^*$ denota el espacio dual. Si $e_1,\dots,e_n$ es una base de $V$, luego $(e^*_2\wedge\cdots\wedge e^*_n)$, $-(e^*_1\wedge e^*_3\wedge\cdots \wedge e^*_n),\dots$, $(-1)^{n-1}(e^*_1\wedge \cdots \wedge e^*_{n-1})$ constituye una base de $\Lambda^{(n-1)}(V^*)$ donde $e^*_1,\dots,e^*_n$ es lo habitual en la base dual de $V^*$. (Esta es la estrella de Hodge operador de la base sobre la $V^*$.) A continuación, la representación de la matriz de $T^\sharp$ es la matriz adjunta de la representación de la matriz de $T$.