Demostrar que $\sqrt[2012]{2012!}<\sqrt[2013]{2013!}$

Question

Necesito demostrar que $\sqrt[2012]{2012!}<\sqrt[2013]{2013!}$

Mi intento:

Deje $a=\sqrt[2012]{2012!}$ $b=\sqrt[2013]{2013!}$

A continuación, $\displaystyle\frac{b^{2012}}{a^{2012}}=\frac{2013}{b}$

Claramente $\displaystyle b<2013$ $\dfrac{2013}{b}>1\implies \dfrac{b^{2012}}{a^{2012}}>1\implies b>a$

Quiero saber si esto es válido y si hay una mejor forma de probarlo.

Answer 1

Para un entero $n>0$, $$\{(n+1)!\}^{\frac1{n+1}}> \{n!\}^{\frac1n}\iff \{(n+1)!\}^n> \{n!\}^{n+1}$$ (Taking lcm$(n,n+1)=n(n+1)$th poder en cualquiera de los lados)

$$\iff(n+1)^n\cdot\{n!\}^n>\{n!\}^{n+1} \iff (n+1)^n>n! $$ which is true as $n+1>r$ for $1\le r\le$n

Answer 2

Mi prueba: ($n=2012$, $n+1=2013$). $$\begin{align}((n!)^{\frac{1}{n}})^n &< ((n+1)^{\frac{1}{n+1}})^n \\ n! &< ((n+1)!)^{1-\frac{1}{n+1}} \\ n! &< (n+1) \cdot n! \cdot (n+1)!^{-\frac{1}{n+1}} \end{align}$$ Desde $(n+1)!^{\frac{1}{n+1}} < n+1$,$(n+1)!<(n+1)^{n+1}$.