Integrar a $\int_0^{\pi/2} {\sin x \cos x \sqrt{\tan x} \ln{\tan x} \,dx}$

Question

Pregunta: solucionar $$\int_0^{\pi/2} {\sin x \cos x \sqrt{\tan x} \ln{\tan x} \,dx}$$

Es una generalización de un reciente Matemáticas.SE pregunta, pero ¿cómo podría uno normalmente enfoque?

Answer 1

Sugerencia. Por el cambio de variable $$ \sqrt{\tan x}=t,\quad x=\arctan (t^2),\quad dx=\frac{2\:dt}{1+t^4}, $$ uno se

$$ \int_0^{\pi/2} {\sin x \cos x \sqrt{\tan x} \ln{\tan x} \,dx}=\int_0^\infty \frac{4t^4\ln t}{\left(1+t^4\right)^2}\:dt=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}-\frac{\pi ^2\sqrt{2}}{16}. \tag1 $$

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Addendum. Uno puede recordar la identidad $$ \int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x}\:dx=-\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}, \quad -1<\alpha<0, \tag2 $$ dando, con una integración por partes, $$ \int_0^\infty\frac{x^\alpha}{(1+x)^2}\:dx=\frac{\alpha \pi}{\sin \alpha \pi}, \quad -1<\alfa<1 \tag3 $$ differentiating $(3)$ rendimientos $$ \int_0^\infty\frac{x^\alpha\ln x}{(1+x)^2}\:dx=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}-\frac{\pi^2\alpha \cos \alpha \pi}{\sin^2 \alpha \pi}, \quad -1<\alfa<1, \tag4 $$ then putting $x=t^4$, $\alpha=\frac14$ gives $(1)$.

Answer 2

Escribir $\ln\tan x=\ln\sin x-\ln\cos x$, reemplace $\sqrt{\tan x}$ también, y hacer la integral de los dos sumandos por separado. Para el primer sumando poner $u=\sin x$ e integrar por partes. Para el segundo sumando poner $u=\cos x$.

Answer 3

El uso de $$\tan(x)\cos(x)\sin(x)=\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$$ and putting $t=\tan(x)$, obtenemos

$$I=\int_0^{+\infty}t^{\frac{3}{2}}dt=+\infty.$$