¿Qué (si acaso) sucedió a intersección homología?

Question

En la década de 1990, Gil Kalai, me presentó a una muy interesante generalización de la teoría de la homología se llama intersección de homología, que ha existido durante 10 años en ese entonces yo creo. Definido inicialmente por Goresky y MacPherson, esta es una versión de la homología que está de acuerdo con el ordinario de homología en los colectores, pero también conserva propiedades decisivas como la Dualidad de Poincaré y la Teoría de Hodge en singular (no)colectores. La definición original era combinatoria, pero más tarde fue re-interpretada en la gavilla de la teoría de términos (perversa poleas?).

Entonces lo que sin duda parecía un nuevo y emocionante desarrollo. Por lo tanto, soy curiosa - ¿de dónde viene el campo en pie hoy en día? Es todavía floreciente, o se ha fusionado con otra cosa, o simplemente se desvaneció?

Answer 1

Intersección de homología y cohomology todavía están alrededor, sino como un tema que acaban sustancialmente ha cambiado el nombre. Ellos son parte de la teoría de la perversa poleas, que son ampliamente utilizados en el programa de Langlands, en la geometría algebraica enfoques categorification, y en otras partes de la geometría algebraica.

En la medida en que la intersección de homología fue destinado a la topología, se ha avivado relativamente menos interés que en la geometría algebraica. Por un lado, ha habido una tendencia a alejarse de álgebra homológica en la topología geométrica. Por otro lado, las singularidades son parte de la estructura de la intersección de homología. Singularies son más pertinentes a la topología geométrica que a la topología algebraica, en el sentido de homotopy teoría. Tanto las singularidades y álgebra homológica son los principales aspectos de la geometría algebraica.

Answer 2

Intersección de homología está vivo y bien en un gran número de formas. Es cierto que muchos de los trabajos que la tendencia a la geometría algebraica, teoría de la representación, y las categóricas, construcciones, tales como perverso gavillas, a través de la década de los 90, pero también continúa el trabajo en el más topológico ajustes por personas como yo, Cappell, Shaneson, Markus Banagl, Laurentiu Maxim, y muchos otros. Al menos una parte de este trabajo está dedicado a extender clásica colector de invariantes, como característica de las clases, de una manera significativa para estratificado espacios, tales como variedades algebraicas, y hay un montón de reciente interés (a pesar de la lentitud de los progresos) en averiguar cómo la intersección de homología podría empate en varias topología algebraica construcciones. También existen formulaciones analíticas tales como L^2 cohomology (iniciada por Cheeger), y mucho más.

Aquí están algunas buenas referencias para empezar en el área de:

Libros: Una Introducción a la Intersección de Homología por Kirwan y Woolf (en su mayoría preocupados con decirle al lector acerca de la fantasía primeras aplicaciones a la geometría algebraica y la teoría de la representación, sino una gran visión de conjunto, sin embargo)

Intersección Cohomology por Borel, et.al. Esta es una gran graves introducción técnica a la zona y, a mi juicio, la canónica de origen de los fundamentos de la asignatura)

Invariantes topológicos de Espacios Estratificados por Markus Banagl (topológicas, pero principalmente a partir de la gavilla punto de vista)

Para una visión general del estado-de-el-arte en la intersección de homología y campos relacionados, soy co-edición de un volumen sobre la Topología de Espacios Estratificados, que será publicado en el MSRI de la serie. Por desgracia, todavía no ha salido, pero mira por lo pronto.

Ponencias: Los papeles originales de Goresky y MacPherson son bastante buenas.

La invariancia topológica de intersección de homología sin poleas por Henry King, es una buena introducción a la singular versión de la teoría.

Y para un montón de artículos recientes, voy descaradamente conectar mi propio sitio web: http://faculty.tcu.edu/gfriedman/ y Markus Banagl: http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~banagl/

Y muchas más referencias se pueden encontrar desde estos lugares.

Answer 3

Homología de intersección rápidamente encontró aplicaciones en teoría de la representación, a partir de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig. Hoy en día, la teoría de haces perversas es una herramienta importante en la teoría de la representación geométrica.

Answer 4

Parece que hay gente pensando en él. Oí Sylvain Cappell Conferencia unas semanas atrás; habló sobre el uso de homología de intersección (co) como parte de una generalización de las clases características singulares variedades.

Aquí es Cappell-Maxim-Shaneson que se refirió a un reciente documento: "Invariantes de la cohomología de intersección de variedades algebraicas complejas".