Función que es distinto de cero sólo en un punto.

Question

Estoy buscando, si existe una función continua $f(x)$ tal que $f(x) = 0$ para todos los valores de $x$, con la excepción de un punto (es decir $\tilde x$) donde $f(\tilde x)\neq0$.

Answer 1

Esto es posible si y sólo si $\tilde x$ es un punto aislado del dominio.

Ejemplo 1: Por ejemplo, el dominio podría ser $$(-\infty,\tilde x - \epsilon)\cup \{\tilde x\}\cup (\tilde x +\epsilon,\infty)$$ if it is a subset of $\mathbb R$ (que, por cierto, no se especifica) y la función de la regla podría ser $$f(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ if }x <\tilde x - \epsilon\\ c & \textrm{ if }x = \tilde x \\ 0 & \textrm{ if }x > \tilde x +\epsilon \end{casos} $$

donde $\epsilon$ es una constante positiva y $c$ es una constante distinto de cero.

Por ejemplo, usted podría tener $$f:(-\infty,-1)\cup \{0\}\cup (1,\infty) \rightarrow \mathbb R$$

con

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{ if }x <-1\\ 1 & \textrm{ if }x = 0 \\ 0 & \textrm{ if }x >1 \end{casos} $$

Ejemplo 2: Una aún más simple ejemplo de esta función sería $$f:\{0,1\} \rightarrow \mathbb R$$ con $$f(x) = \begin{cases} 1 & \textrm{ if }x = 0 \\ 0 & \textrm{ if }x =1 \end{casos} $$

Answer 2

Esta función no puede existir, si es que debe ser continua.

Supongamos que una función de este tipo $f:R \to R$ existe, y para algunos $x \in R$, $f(x) = c \ne 0$. Deje $y \ne x$. Por el Teorema del Valor Intermedio, a continuación, $\exists z \in [x, y]$ (o $[y, x]$) tal que $0 < f(z) < c$.

Answer 3

No hay ninguna función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x)=0$ todos los $x\not=x_0$$f(x_0)\not=0$, ya que por definición de continuidad

$$f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0,x\not=x_0} f(x)=0$$

Answer 4

Debido a la condición adicional de continuidad, no es posible. Puede utilizar los límites en el único punto donde la función no es cero para probar que una función no sea continua.

Answer 5

Creo que tal vez tu profe utilizado pobre redacción y significó seccionalmente continua, y que están buscando para la función dada por gebruiker en la parte superior. Había que esto me suceda en Variables Reales y me confunde. Es una función seccionalmente continua (a través de una infinitamente grande también!) y si el estudio de Lebesgue medida/integrales, a continuación, que es lo que quieres.

f(x) = 0 cuando x ≠ xStar, f(x) = c cuando x = xStar

Si no estás estudiando medida de Lebesgue o integrales, y en Reimann, a continuación, utilice el valor intermedio para demostrar DNE como afirma C. Quilley en la parte superior.

Tenga un buen día!