Estoy simplemente curiosidad acerca de por qué la siguiente igualdad se tiene: $ \displaystyle\prod_{n\lt\omega}\aleph_n=\aleph_\omega^{\aleph_0}. $
Muchas gracias!
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sewo
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Es obvio que $\prod_{n<\omega}\aleph_n \preceq (\aleph_\omega)^\omega$, ya que el lado izquierdo es un subconjunto de los RHS.
En el otro sentido, vamos a tratar de construir una inyección de $(\aleph_\omega)^\omega$ (es decir, el conjunto de secuencias infinitas de elementos de $\aleph_\omega$) a $\prod_{n<\omega}\aleph_n$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $0$ no se producen en la secuencia original (por ejemplo, mediante la adición de $1$ a cada elemento finito). Ahora $\aleph_\omega = \bigcup_{n<\omega} \aleph_n$, por lo que para cada una de las $\alpha\in\aleph_\omega$ hay un mínimo de $N<\omega$ tal que $\alpha\in\aleph_n$ todos los $n\geq N$. Por lo tanto, para cada una de las $0$libre de secuencia infinita de elementos de $\aleph_\omega$, podemos almohadilla de que la secuencia de la con $0$'s tales que cada elemento viene lo suficientemente tarde como para estar en $\aleph_n$ $n$ siendo su índice. El distinto de cero elementos de el collar de la secuencia son exactamente los elementos de la secuencia original, y en el mismo orden. Así que tenemos una inyección de$(\aleph_\omega)^\omega$$\prod_{n<\omega}\aleph_\omega$.
Ahora aplica el Cantor-Bernstein.
El siguiente es un teorema de Tarski: $$\prod_{\alpha<\kappa}\lambda_\alpha = \bigg(\sup\{\lambda_\alpha\mid\alpha<\kappa\}\bigg)^\kappa$$
A partir de la cual se sigue trivialmente que $\prod_\omega\aleph_n = \aleph_\omega^{\aleph_0}$. Simplemente deje $\kappa=\omega$$\lambda_n=\aleph_n$, ya que el $\sup\{\aleph_n\mid n<\omega\}=\aleph_\omega$ tenemos que el producto de la $\aleph_n$'s es igual a $\aleph_\omega^{|\omega|}=\aleph_\omega^{\aleph_0}$.
La prueba del teorema se puede encontrar en detalle en varios libros (actualmente estoy pasando a través de la Introducción del Cardenal Aritmética, aparece como Lema 1.6.15).
La prueba en una cáscara de nuez:
Primero vamos a $\mu=\sup\{\lambda_\alpha\mid\alpha<\kappa\}$. La idea detrás de la prueba es considerar una partición de $\kappa$ a $\{A_\xi\mid\xi<\kappa\}$ (simplemente por el hecho de que $\kappa\cdot\kappa = \kappa$), luego de considerar el producto a través de todas las partes, que es: $$\mu^\kappa = \prod_{\alpha<\kappa}\mu \le\prod_{\xi<\kappa}\ \ \prod_{\alpha\in A_\xi}\lambda_\alpha=\prod_{\alpha<\kappa}\lambda_\alpha\le\prod_{\alpha<\kappa}\mu=\mu^\kappa$$
El primer $\le$ señal proviene de la distributividad de productos a través de particiones del conjunto de índices, y el hecho de que para cada $A_\xi$ tenemos que $\sup A_\xi=\mu$.
