Cercanía de las medidas de probabilidad

Question

Consideremos un conjunto de medidas de probabilidad $\{P_n\}$ . Supongamos que $P_n$ converge a $P^*$ débilmente y $$\int \xi^2 P_n(d\xi)< \infty.$$ ¿Podemos reclamar $$\int \xi^2 P^*(d\xi)<\infty$$ y $$\lim_{n\to \infty} \int \xi^2 P_n(d\xi) =\int \xi^2 P^*(d\xi)?$$

Answer 1

Supongamos que $P_n=p_n\delta_{x_n}+(1-p_n)\delta_0$ para algunos $(x_n)$ y $(p_n)$ con $p_n\to0$ entonces $P_n$ es integrable al cuadrado y $P_n\to P^*=\delta_0$ pero $\int\xi^2P_n(\mathrm d\xi)=p_nx_n^2$ mientras que $\int\xi^2P^*(\mathrm d\xi)=0$ por lo que los momentos cuadrados pueden divergir (considere $p_n=1/n$ y $x_n=2^n$ ).

Answer 2

La pregunta es: ¿el conjunto de medidas de probabilidad que tienen un momento de orden $2$ ¿se cierra secuencialmente para la convergencia en la ley?

La respuesta es no. Uso de Glivenko-Cantelli podemos demostrar que cualquier medida de probabilidad sobre $\Bbb R$ dotado de su Borel $\sigma$ -para la topología habitual, es el límite en ley de las medidas de probabilidad que tienen un soporte finito.

El resultado sigue siendo cierto cuando consideramos un espacio métrico separable en lugar de $\Bbb R$ . Por ejemplo, podemos evitar que Glivenko-Cantelli demuestre que $$\left\{\sum_{j=1}^na_j\delta_{x_{k_j}},a_j\geqslant 0,\sum_{j=1}^na_j=1,n\in\Bbb N\right\}$$ es denso para la topología de convergencia en la ley, donde $\{x_j,j\geqslant 1\}$ es un subconjunto contable.