dos cargas puntuales idénticas no pueden chocar

Question

Me he convencido a mí misma de forma intuitiva que si se colocan dos sin masa clásica de partículas con la misma carga en $\mathbb{R}^n$, con diferentes velocidades iniciales y (distinta) de las posiciones, de que nunca va a chocar. Sin embargo, estoy de tener una diablos de un tiempo tratando de probarlo, y agradecería un poco de ayuda.

Formalmente, considere la posibilidad de $q_1, q_2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ satisfactorio $$\ddot{q_i} = \frac{1}{\|q_i - q_j\|^3} (q_i - q_j)$$ With $q_1(0) \neq q_2(0)$. The claim is that $q_1(t) \neq q_2(t)$ for all $t > 0$.

Así que mis preguntas son: (i) ¿es esto cierto? (ii) ¿qué sucede si queremos reemplazar el exponente 3 en el denominador con decir $\alpha > 0$ ?

N. B. La pregunta ya es un poco largo, pero me encantaría publicar mis pensamientos hasta el momento.

Editar Todas las respuestas fueron muy útiles, muchas gracias a todos!

Answer 1

Mediante la descripción de todos los movimientos con respecto al centro de masa de marco, podemos restringir nuestra atención a $\mathbb{R}^{2}$ solamente. En lo que sigue, $\mathbf{q}_{1},\mathbf{q}_{2}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$ el valor del desplazamiento de funciones de dos partículas con respecto al centro de masa de marco, donde el centro de masa se fija en el origen de $\mathbb{R}^{n}$.

Para la central-la fuerza de movimiento con sólo dos partículas, las trayectorias $\mathbf{q}_{1}$ $\mathbf{q}_{2}$ son vistos a mentir estrictamente dentro de un $2$-dimensiones subespacio $\Pi$$\mathbb{R}^{n}$. Si el afín vectores ${\dot{\mathbf{q}}_{1}}(0)$ ${\dot{\mathbf{q}}_{2}}(0)$ están orientados de tal manera que no simultáneamente punto hacia/desde el origen, a continuación, $\Pi$ está determinada únicamente.

Lo que he hecho anteriormente es elegir una isometría $T \in \mathbf{O}(n,\mathbb{R})$ con el fin de obtener $$T[\Pi] \subseteq \mathbb{R}^{2} \times \underbrace{\{ 0 \} \times \cdots \times \{ 0 \}}_{\text{$ n - 2 $ veces}}.$$ Esto nos permite cambiar nuestro enfoque a $\mathbb{R}^{2}$. Claramente, el elegido isométricamente-lineal de transformación de coordenadas no afecta a la física que está siendo descrito por las ecuaciones de movimiento especificado por el OP de arriba.

Con esto en mente, tenga en cuenta que para $\alpha = 3$, lo que tenemos es básicamente el bien estudiado Coulomb Colisión Problema. Dependiendo de la orientación de los afín vectores ${\dot{\mathbf{q}}_{1}}(0)$${\dot{\mathbf{q}}_{2}}(0)$, las trayectorias se encuentran en

• no intersección de hipérbolas o

• no de intersección de los segmentos de una sola línea recta.

Me parece bastante interesante que la derivación de la Dispersión de Rutherford Fórmula en la física atómica se basa en este hecho.

Para $\alpha \in \mathbb{R}_{> 0} \setminus \{ 3 \}$ en general, no tenemos una buena descripción de las trayectorias de los involucrados. Sin embargo, uno puede fácilmente hacer uso de una energía-conservación de argumento para demostrar que las trayectorias no chocan entre sí, y esto es precisamente lo que Jorge ha descrito en su solución.

Answer 2

En primer lugar, permítanme abordar la segunda cuestión. Observe que el campo eléctrico no es ya del inverso del cuadrado de dependiente en otras dimensiones que $3$. La ecuación fundamental aquí es $\nabla\cdot \mathbf E=\rho$ (la divergencia del campo es la densidad de carga.) En tres dimensiones el campo causado por un punto de partícula de hecho radial de campo con magnitud $E(r)=q/4\pi r^2$. En otras dimensiones, el campo causado por un punto de la partícula en el origen es todavía radial, pero uno tiene $$\mathrm{vol}(S^{n-1})E(r)=\int_{S^{n-1}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} =\int_{n-ball} \,\nabla\cdot \mathbf{E}\,d^{n}x =\int_{n-ball}\rho d^{n}x= q,$$ after using Gauss theorem. Then in if you want to consider the field in $\mathbb{R}^n$, su norma es $$E(r)=\frac{\Gamma(n/2)}{2 \pi^{n/2}}\frac{p}{r^{n-1}}.$$

Observe que usted todavía consigue conservación de la energía. Asumiendo $1<n\neq 2$, la energía potencial se va como $r^{-(n-2)}$, mientras que para $n=2$ el potencial va como $\mathrm{ln}(r)$. Ya que los cargos son inicialmente en posiciones diferentes, $U_i$, la energía potencial inicial es finito. Desde $T_i+U_i=T_f+E_f$ y la energía cinética es siempre positivo, necesita un infinito inicial kinetik energía que chocan, lo cual es imposible. Los cargos nunca colisionan. Esto responde a la primera pregunta demasiado, de dimensión arbitraria.

Answer 3

Este es un buen lugar como cualquier otro para hablar de cómo se puede derivar de conservación de la energía a partir de cero, de la nada, pero una ecuación diferencial para $\ddot q_i$... mientras su fuerza plazo es conservador, es decir, es el negativo del gradiente de un escalar "energía potencial" de la función. (Voy a tratar sólo con un sistema de partículas, pero usted puede manejar múltiples partículas simplemente por el empaque en todas las variables de posición $q_1, q_2, \ldots, q_m$ en un solo vector en $\mathbb R^{mn}$.)

Considere la posibilidad de $\ddot q=f(q)$ donde $f$ es conservador, es decir, $f(q) = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dq} U(q)$ para algunos escalares potencial de $U$. Introducir un impulso variable $p=\dot q$, de modo que $\dot p = f(q).$ Observa que el $p = \frac{\mathrm d}{\mathrm dp} T(p)$ donde $T(p) = \frac12\lVert p\rVert^2$. Definir la función de la energía $H(q,p) = U(q) + T(p)$, y observar que $$\dot H(q,p) = \frac{\partial H}{\partial q}\cdot\dot q + \frac{\partial H}{\partial p}\cdot\dot p = -\dot p\cdot\dot q + \dot q\cdot\dot p = 0,$$ por lo $H$ es constante en el tiempo para cualquier solución.

Para tu problema, tu $U(q_1,q_2)$ sólo dependerá $\lVert q_1-q_2\rVert$, y usted querrá comprobar si $H$ es infinito en una colisión de configuración. Creo que usted necesita $\alpha>1$ para que eso suceda.