Cómo evaluar la integral $\int_0^{2\pi} \theta\exp(x\cos(\theta) + y\sin(\theta))) d\theta$

Question

He encontrado otras cinco integrales relacionadas cuyas pruebas estoy estudiando ahora A , B , C , D y E

$$\int^{2\pi}_0e^{\cos \theta}\cos(a\theta -\sin \theta)\,d \theta = \frac{2\pi}{a!}$$ $$\int_0^{2\pi} \exp(\cos(\theta)) \cos(\theta + \sin(\theta)) = 0$$ $$ \int_0^{2\pi} \exp(\alpha \cos(\theta))\cos(\sin(\theta)) = 2\pi I_0(\sqrt{1 - \alpha^2})$$ $$\int_0^{2\pi} \exp(x\cos(\theta) + y\sin(\theta))) = 2\pi I_0(\sqrt{x^2 + y^2})$$ $$ \int_0^\dfrac{\pi}{2}\beta^\alpha\exp\left(-\beta\cos(\theta)\right)d\theta = \dfrac{1}{2}\beta^\alpha\pi\left(J_0(\beta)-L_0(\beta)\right)$$

También pude encontrar una declaración muy general en Gradshteyn como entrada número 3.338. $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\exp{\frac{a + b\sin x + c \cos x}{1 + p \sin x + q \cos x}}}{1 + p \sin x + q \cos x} dx = \frac{2\pi e^{-\alpha}I_0(\beta)}{\sqrt{1 - p^2 - q^2}}$$ $$\textrm{where } \alpha = \frac{bp + cq -a}{1 - p^2 - q^2},\; \beta = \sqrt{\alpha^2 - \frac{a^2 - b^2 - c^2}{1 - p^2 - q^2}}$$

Pero el planteamiento más sencillo de utilizar la integración por partes para reducir mi problema a uno de ellos no funciona.

Fondo He aquí algunos antecedentes de por qué me interesa esta integral, vamos $v = [x, y] \in \mathbb{R}^2$ y $r = [\cos(\theta), \sin(\theta)] \in \mathbb{R}^2$ Considere el valor de $$\underset{\theta \tilde{} \textrm{Hill}}{E}[\exp(v^Tr)]$$ Es el valor esperado de la exponencial de la proyección de un vector aleatorio elegido utilizando la distribución Hill, donde la "Hill" es una distribución no normalizada que aumenta linealmente de $0$ en $-\pi$ a $1$ en $0$ y luego disminuye linealmente desde $0 \textrm{ to } \pi$ . Descartando el factor normalizador de Hill, Esta expectativa se convertirá en:

$$ \int_{-\pi}^{0} (\theta + \pi)\exp(x\cos\theta + y\sin\theta) d\theta + \int_{0}^{\pi} (\pi - \theta) \exp(x\cos\theta + y\sin\theta) d\theta $$

Ahora bien, hay distribuciones simplificadoras no normalizadas que podría asumir en mi modelo, en lugar de Hill, como Uniforme de 0 a $2\pi$ o $\exp(\cos(\theta))$ Ambas distribuciones permiten el cálculo analítico de la expectativa anterior basándose simplemente en las identidades escritas a continuación, pero quiero saber para qué distribuciones puedo calcular esta expectativa (¿Puedo hacerlo para Hill?) Supongo que sólo puedo hacerlo para distribuciones que tengan alguna descomposición finita en términos de armónicos esféricos. Por desgracia, mis conocimientos son escasos en análisis complejo y armónicos esféricos, así que no puedo evaluar rápidamente mis opciones.

Answer 1

No es difícil ver que \begin{align*} \int_0^{2 \pi } \theta \cdot e^{x \cos \theta +y \sin \theta } \, \mathrm{d}\theta &=\int_{0}^{2\pi }\theta \sum_{k=0}^{\infty }\frac{\left ( x \cos \theta +y \sin \theta \right )^{k}}{k!}\, \mathrm{d}\theta \\ &=\int_{0}^{2\pi }\theta \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}y^{j}\sin^{j}\theta x^{k-j}\cos^{k-j}\theta \, \mathrm{d}\theta \\ &=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}y^{j}x^{k-j}\int_{0}^{2\pi }\theta \sin^{j}\theta \cos^{k-j}\theta \, \mathrm{d}\theta \end{align*} Para la última integral, con la ayuda de Mathematica obtenemos el siguiente resultado complejo \begin{align*} \int_{0}^{2\pi }\theta \sin^{m}\theta \cos^{n}\theta \, \mathrm{d}\theta =&\frac{(-1)^{m+n} \pi ^2 \csc \left(\frac{n \pi }{2}\right) \csc \left(\frac{\pi m}{2}+\frac{n \pi }{2}\right) \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)}{4 \Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{m}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}+\frac{\pi ^2 \csc \left(\frac{n \pi }{2}\right) \csc \left(\frac{\pi m}{2}+\frac{n \pi }{2}\right) \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)}{4 \Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{m}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+(-1)^{m+n} 2^{\frac{m}{2}-\frac{1}{2}} \cos \left(\frac{m \pi }{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(-\frac{m}{2}-n-\frac{1}{2}\right) \Gamma (n+1) \, _2F_1\left(\frac{1-m}{2},\frac{m+1}{2};\frac{m}{2}+n+\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\\ &+\frac{(-1)^{m+2 n} 2^{\frac{m}{2}-\frac{1}{2}} \pi \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right) \Gamma (n+1) \, _2F_1\left(\frac{1-m}{2},\frac{m+1}{2};\frac{m}{2}+n+\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}+n+\frac{3}{2}\right)}\\ &+\frac{(-1)^{m+n} \Gamma \left(\frac{n}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+1\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{2},1,\frac{m}{2}+1;\frac{3}{2},1-\frac{n}{2};1\right)}{2 \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+1\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{2},1,\frac{m}{2}+1;\frac{3}{2},1-\frac{n}{2};1\right)}{2 \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{(-1)^n \Gamma \left(\frac{m}{2}\right) \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{2},1,\frac{n}{2}+1;\frac{3}{2},1-\frac{m}{2};1\right)}{2 \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{(-1)^{m+2 n} \Gamma \left(\frac{m}{2}\right) \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{2},1,\frac{n}{2}+1;\frac{3}{2},1-\frac{m}{2};1\right)}{2 \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{(-1)^n \pi \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right) \left(\pi \csc \left(\frac{m \pi }{2}\right) \csc \left(\frac{\pi m}{2}+\frac{n \pi }{2}\right)+\pi \sec \left(\frac{n \pi }{2}\right)\right)}{4 \Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{(-1)^{m+2 n} \pi \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right) \left(\pi \csc \left(\frac{m \pi }{2}\right) \csc \left(\frac{\pi m}{2}+\frac{n \pi }{2}\right)+\pi \sec \left(\frac{n \pi }{2}\right)\right)}{4 \Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right) \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{n}{2}+1\right)}\\ &+\frac{(-2)^{m+n} \pi ^{5/2} \Gamma \left(\frac{m}{2}+\frac{1}{2}\right) \sec \left(\frac{\pi m}{2}+n \pi \right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right) \Gamma \left(-\frac{m}{2}-\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right) \Gamma (m+n+1)} \end{align*} Viendo este horrible resultado, si no lo estoy haciendo mal, no creo que haya una forma cerrada para la integral, al menos que no sea demasiado corta.