Si $a+b=10^{50}$, a continuación, mostrar $10|a$

Question

Supongamos $a$ es un entero positivo y otro entero positivo $b$ es obtenido por los enredos hasta que los dígitos de $a$. Supongamos $a+b=10^{50}$. A continuación, mostrar que $10|a$.

Vi por primera vez en ¿qué pasa si $a+b=100$. Dejando $a=10x+y$ si $b\neq a$ $b=10y+x$ lo que implica $11(x+y)=100$, una contradicción. Por lo $a=b$ significado $a=50$ y, por tanto,$10|a$.

Luego me miró a $a+b=10^3$. Aquí la situación es más compleja, y no veo fácil el patrón. Por supuesto, también me señaló que si $10|a$ $10|b$ también, así que, esencialmente, dividiendo ambos lados de $a+b=10^3$ $10$ podemos conseguir $a^*+b^*=100$ y estamos de vuelta en la situación original, que ya ha sido resuelto es decir $a^*=50$ lo que implica $a=500$ lo que implica $10|a$ nuevo.

Así que de alguna manera tengo que mostrar que si $a+b=10^3$ sostiene, a continuación,$a=b$.

Si me puede hacer frente a la menor de los casos, creo que será más capaz de entender lo que sucede a $a+b=10^{50}$.

Oh, también sé que si $a$ $b$ son números con los mismos dígitos, a continuación,$9|a-b$. Sin embargo, no sé qué más puedo deducir.

Answer 1

Suponga $a \not \equiv 0 \pmod {10}$. Tenga en cuenta que $a$ debe ser menor que $10^{50}$, aún más grande que la de $10^{49}$.

Deje $$a=\sum_{i=0}^{49}a_{i}10^{i}$$ A continuación, vamos a $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots, b_{49})$ ser los dígitos de $b$ en orden, y debido a la definición de $b$ se deduce que son un reordenamiento de $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots, a_{49})$.

Por lo $$10^{50}=\sum_{i=i}^{49}(a_{i}+b_{i})10^{i}$$

Desde $a_{0} \neq 0$,$a_{0}+b_{0}=10$. Debido a la realización, podemos utilizar esto para afirmar que $a_{1}+b_{1}=9$, y así sucesivamente. Finalmente, hemos de señalar que para $n \ge i \ge 1$ tenemos $a_{i}+b_{i}=9$. Así que tenemos $$\sum_{i=i}^{49}(a_{i}+b_{i})=10 +9 +9+ \dots +9= 9 \times 49+10 =451$$ Sin embargo, desde la $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots, b_{49})$ es un reordenamiento de $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots, a_{49})$, $$451=\sum_{i=i}^{49}(a_{i}+b_{i})=2\sum_{i=0}^{49}a_{i}$$ Una contradicción, ya que $\sum\limits_{i=0}^{49}a_{i}$ natural.

Answer 2

(Me gustaría publicar una respuesta con más intuición y menos elegante técnica. La prueba puede parecer un poco raro al principio, pero creo que es válido. )

Paso 1: mostrar que el último dígito de la $a$ sólo puede ser $0$ o $5$.

Paso 2: mostrar que el último dígito de la $a$ no puede ser $5$.

Ahora el paso 1:

Supongamos que el último dígito de la $a$$2$. A continuación, el último dígito de la $b$ se $8$. Debido a $a$ es esencialmente una permutación de los dígitos de $b$, por lo que algunos dígitos de $a$ debe $8$, dicen que es la $K^{th}$ dígitos de $a$. A continuación, el $K^{th}$ $b$ debe $1$ porque $a$ $b$ agregar a a $10^{50}$. Por un razonamiento similar, $1$ debe ser algún dígito de $b$, dicen que la $L^{th}$ dígitos de $b$. A continuación, el $L^{th}$ dígitos de $a$ se $8$. De esta manera, el número de $1$ $8$ reaparece reiterately y número de $2$ nunca vuelve a aparecer. (Usted puede tratar de un par de pasos para entender la vinculación del sistema.) Por lo $a$ no es una permutación de los dígitos de $b$. Una contradicción.

El uso de formas similares, podemos mostrar que el último dígito de la $a$ sólo puede ser $0$ o $5$.

Ahora el paso 2:

Supongamos que el último dígito de la $a$ es 5. A continuación, el último dígito de la $b$ es 5. Entonces tenemos:

$$\overline{a5}+\overline{b5}=10^{50}$$ $$\Rightarrow\overline{a0}+\overline{b0}=\underbrace{999...99}_{10^{50}-1}0$$ $$\Rightarrow\overline{a}+\overline{b}=\underbrace{999...99}_{10^{50}-1}$$

Vamos a probar que la última ecuación no tiene solución. Aplicar el mismo método que en el paso 1. Supongamos que el último dígito de la $a$$3$. A continuación, el último dígito de la $b$$6$. A continuación, algunos de los dígitos de $a$$6$. El patrón de este sistema de emparejamiento es, $3$ $6$ aparecen alternativamente. Tenga en cuenta que $(10^{50}-1)$ es un número impar. Así, al fin, habrá uno más $3$ o más $6$. Por lo $a$ no es una permutación de $b$. La aplicación de similares razonamientos, hemos demostrado que el último dígito de la $a$ no puede ser $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0$. Por lo $a$ no existe.

Ahora hemos demostrado que el último dígito de la $a$ sólo puede ser $0$.