Teorema de Lagrange y consecuencias de la divisibilidad.

Question

Hay algunos enunciados de divisibilidad simples, pero a veces intrigantes que son consecuencias directas del teorema de Lagrange. Por ejemplo:

• $p$ divide $a^{p-1}-1$ (El pequeño timbre de Fermat)
• $n!$ divide $(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^{n}-p^{n-1}).$

Este último puede derivarse del hecho de que $S_n \hookrightarrow GL_{n}(\mathbb{F}_p)$ .

Me he dado cuenta de que ejemplos sencillos como esos pueden ser muy convincentes para los estudiantes (principiantes).

Pregunta : ¿Existen más enunciados de divisibilidad interesantes que sean conseguencias inmediatas del thm de Lagranges? Es decir, que provengan del simple hecho de que un grupo $H$ es un subgrupo de un grupo finito $G$ ?

Answer 1

Conozco una, aunque no es muy emocionante.

Podemos demostrar que $k!n!^k$ es un divisor de $(nk)!$ observando que el primero es el orden del subgrupo de las permutaciones de $\{1,2,\dots kn\}$ tal que permuta los grupos $\{1,2,3,\dots n\},\{n+1,\dots, 2n\} , \dots , \{kn-k+1,\dots,kn\}$ interna y externamente.

Answer 2

Para $a,n \geq 1$ , $n\mid\phi(a^n - 1)$ ( $\phi$ siendo la de Euler $\phi$ -). Esto se deduce de la observación de que el orden de $a$ en $\left(\Bbb Z/(a^n-1)\Bbb Z\right)^\times$ es $n$ .