Demuestra que dos ángulos son iguales

Question

$M$ es el punto medio de $BC$ en el triángulo $\Delta ABC$ . $D$ se encuentra en $AC$ y $AD = BD$ . $E$ se encuentra en la línea $AM$ , $DE$ es paralelo a $AB$ . ¿Cómo puedo demostrar que los ángulos $D\hat{B}E$ y $A\hat{C}B$ son iguales?

Answer 1

Dejemos que $L$ ser elegido en la línea $AM$ para que $AM = ML$ es decir $M$ es el punto medio del segmento $AL$ . Entonces $ABLC$ es un paralelogramo. Así, $AB$ es paralelo a $DE$ y $CL$ . Sea $N$ sea la intersección de la línea $CL$ con línea $BD$ .

Lema 1. Desde $AD = BD$ , el trapecio $ABCN$ es isósceles con $AN = BC$ y $\angle \, ANB = \angle \, ACB$

Prueba: De hecho, el hecho de que el triángulo $ABD$ es isósceles implica que $\angle \, ABD = \angle \, BAD = \alpha$ . Además, como $AB$ es paralelo a $CN$ $$\angle \, NCD = \angle \, NCA = \angle \, BAC = \angle\, BAD = \alpha$$ y $$\angle \, CND = \angle \, CNB = \angle \, ABN = \angle\, ABD = \alpha$$ En consecuencia, el triángulo $CDN$ es isósceles con $DC = DN$ . Por lo tanto, los triángulos $BDC$ y $ADN$ son congruentes por lo que $AN = BC$ . Por lo tanto, $\angle \, ANB = \angle \, ACB$ .

Lema 2. Las siguientes igualdades de oro: $$\frac{DF}{NL} = \frac{BF}{BL} = \frac{AD}{AC} = \frac{AQ}{AN} =\frac{QE}{NL}$$ que se puede encontrar en $QE = DF = AB = CL$ .

Prueba: Mira el triángulo $BNL$ y la línea $DF$ en paralelo a $NL$ . Entonces $$\frac{DF}{NL} = \frac{BF}{BL}$$ por el teorema del intercepto para el par de líneas $BN$ y $BL$ intersecada por las dos líneas paralelas $BF$ y $NL$ . Alternativamente, este resultado se desprende de la similitud entre los triángulos $BDF$ y $BNL$ . Ya que el cuádruple $ABLC$ es un paralelogramo y $DF$ es paralelo a ambos $AB$ y $CL$ El cuadrante $ABFD$ también es un paralelogramo por lo que $BF = AD$ y $BL = AC$ lo que implica
$$\frac{BF}{BL} = \frac{AD}{AC}$$ A continuación, mira el triángulo $ANC$ y la línea $QD$ en paralelo a $NC$ . Entonces $$\frac{AD}{AC} = \frac{AQ}{AN}$$ por el teorema del intercepto para el par de líneas $AN$ y $AC$ intersecada por las dos líneas paralelas $QD$ y $NC$ . Alternativamente, este resultado se desprende de la similitud entre los triángulos $AQD$ y $ANC$ . Por último, mira el triángulo $ANL$ y la línea $QE$ en paralelo a $NL$ . Entonces $$\frac{AQ}{AN} = \frac{QE}{NL}$$ por el teorema del intercepto para el par de líneas $AN$ y $AL$ intersecada por las dos líneas paralelas $QE$ y $NL$ . Alternativamente, este resultado se desprende de la similitud entre los triángulos $AQE$ y $ANL$ .

Completando la demostración del resultado principal: Desde $QE = AB$ y $QE$ es paralelo a $AB$ El cuadrante $ABEQ$ es un paralelogramo, lo que significa que $BE$ es paralelo a $AQ$ y por lo tanto $BE$ es paralelo a $AN$ también. Esto significa que $\angle \, DBE = \angle \, NBE = \angle \, ANB = \angle \, ACB$ .