Prueba $k+1>k $ donde $k$ es un número entero

Question

Se me pide que demuestre que si $k \Bbb Z$ , $k+1>k$ . A juzgar por nuestras instrucciones, parece (no estoy seguro) que no puedo utilizar la ley de la inducción para resolver esto. Una pista da que la prueba depende de $1\Bbb N$ . Estaba pensando en enfocar esto usando si $k\Bbb N$ entonces $x+k\Bbb N$ . El problema es que no nos dieron $k\Bbb N.$ ¿Se puede resolver sin inducción?

Se nos da la asociatividad, la conmutatividad y los elementos de identidad para la suma y la multiplicación, la inversa aditiva, las propiedades de $=$ y teoría de conjuntos y lógica básicas.

El orden para los enteros viene dado por Sea $m,n,p\Bbb Z$ . Si $m<n$ y $n<p$ , $m<p$ .

También se supone, y posiblemente sea relevante, si $x\Bbb Z$ entonces $x\Bbb N$ o $-x \Bbb N$ o $x=0$ .

Answer 1

Como se indica en los comentarios, la respuesta puede depender en cierta medida del conjunto de axiomas para los números enteros que se utilice; también depende de la definición exacta de $"a>b"$ . Pero bajo la mayoría de las axiomatizaciones, asumiendo que $"a>b"$ se define como $"(a-b)\in \mathbb{N}"$ (donde $\mathbb{N}$ es el conjunto de enteros positivos), algo así como la siguiente prueba por contradicción funcionaría:

$[(k+1)\ngtr k]~ \equiv~~ [(k+1)-k \notin \mathbb{N}]~~~$ (definición de $a>b$ )

$\implies~ [(1+k)-k \notin \mathbb{N}]~$ (conmutatividad de la suma)

$\implies~[1+(k-k) \notin \mathbb{N}]~$ (asociatividad de la suma)

$\implies~~~[1\notin \mathbb{N}]$

Tenga en cuenta que $1\in\mathbb{N}$ a menudo no forma parte de los axiomas de los números enteros, y en general debe demostrarse por sí mismo. La pregunta original sugiere que "ya" se ha demostrado, así que aquí podemos darlo por hecho. Por lo demás, un esbozo de la prueba de que $1\in\mathbb{N}$ sería (bajo la mayoría de las axiomatizaciones de los números enteros, como la uno aquí que me gusta especialmente):

1. Demuestre que para cualquier número entero $a$ tenemos $a\cdot 0=0$ . Prueba boceto : $0=a\cdot 0 - a\cdot 0$ $= a\cdot (0+0) - a\cdot 0$ $=a\cdot 0$ .
2. Demuestre que para cualquier número entero $a$ tenemos $-a=a\cdot(-1)$ . Prueba boceto utilizando lo anterior $0 = a \cdot (1+(-1)) = a+ a\cdot(-1)$ .
3. Combina lo anterior con el axioma de cierre de $\mathbb{N}$ bajo la multiplicación para obtener $-1\notin\mathbb{N}$ .
4. Aprovechar el axioma de la tricotomía (todo número entero $a$ debe satisfacer exactamente una de las tres siguientes: o bien $a\in\mathbb{N}$ o su inversa aditiva $-a\in\mathbb{N}$ o $a=0$ es decir $a$ es una identidad aditiva) para deducir que $1\neq 0$ ya que de lo contrario para uno $a\in\mathbb{N}$ tendríamos $a=a\cdot 1= a\cdot 0=0$ .
5. Explotar el axioma de la tricotomía de nuevo para concluir que ya que $1\neq 0$ y $-1\notin\mathbb{N}$ entonces $1\in\mathbb{N}$ .

Answer 2

Si asume que $1 > 0$ es verdadera, por lo que es trivial porque, dado $k \in \mathbb{Z}$ , $$ \mbox{ the inequation } \quad k + 1 > k \qquad \mbox{ is equivalent to } \qquad 1 > 0 $$ En general, si $x , y , z \in \mathbb{R}$ , $$ \mbox{ the inequation } \quad x > y \qquad \mbox{ is equivalent to } \qquad x + z > y + z $$ y se puede sustituir " $>$ " por " $\geq$ ", " $<$ ", " $\leq$ " o " $=$ ".

Answer 3

Deberías buscarlo en Teoría de los Números. Hay axiomas para demostrarlo para los números naturales. Los axiomas de Peano esto se puede utilizar para demostrarlo. Espero que lo resuelvas.

Un conjunto de $N$ se llama conjunto de números naturales si satisface los Axiomas de Peano:

• Axioma 1: $1$ pertenece a $N$
• Axioma 2: a cada elemento $n$ perteneciente a $N$ , corresponde un elemento único $n'$ llamado sucesor de $n$ .
• Axioma 3: Para cada n perteneciente a $N$ tenemos $n' \ne 1$ .
• Axioma 4: si $m,n$ pertenecen a $N$ entonces $m' = n'$ implica que $m=n$ o $m\ne n$ implica que $m' \ne n'$ .
• Axioma 5: et $M$ sea un conjunto de elementos de $N$ es decir $M$ es un subconjunto de $N$ entonces $M=N$ siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes
  1. $1$ pertenece a $M$
  2. Si $k$ pertenece a $M$ entonces $k'$ pertenece a $M$ , $k'$ siendo sucesor de $k$ .