Demostrar que la matriz de la ecuación no tiene raíces si una matriz cumple con ciertas condiciones

Question

Podría usted explicarme cómo resolver ecuaciones de matrices?

He aquí un ejemplo:

Probar que:

$$2X^2 + X = \begin{bmatrix} -1&5&3\\-2&1&2\\0&-4&-3\end{bmatrix}$$

no tiene soluciones en $M(3,3;\mathbb{R})$ donde $M(3,3;\mathbb{R})$ es el espacio de todos los $3\times3$ matrices con entradas real.

Answer 1

Primera nota de que $X$ $3\times 3$ real de la matriz y por lo tanto debe tener al menos un autovalor real.

Considere el polinomio característico de a $$A=\begin{pmatrix} -1&5&3\\-2&1&2\\0&-4&-3\end{pmatrix}$$ que es $$p(\lambda) = -\lambda^3 -3\lambda^2 -17\lambda -11$$ Tomando $A=2X^2 + X$ $p$ da $$p(A) = -8X^6 - 12X^5 -18X^4 -13X^3 - 37X^2 - 17X - 11 = 0$$ Tenga en cuenta que, en particular, $$q(x) = -8x^6 - 12x^5 -18x^4 -13x^3 - 37x^2 - 17x - 11 = 0$$ es un aniquilador polinomio de $X$. Por lo tanto, los autovalores de a $X$ debe estar entre las raíces de $q$. Pero todos los de $q$'s raíces son complejas, una contradicción.

Answer 2

Desde $A = \pmatrix{-1 & 5 & 3\cr -2 & 1 & 2\cr 0 & -4 & 3\cr}$ es igual a un polinomio es $X$, desplazamientos con $X$. Ahora $0 = 2 X^2+ X - A = 2 (X + I/4)^2 - I/8 - A$.
Ahora $A$ tiene una simple autovalor $\lambda \approx -.715923208$. Si $v$ es un autovector de a $A$ para este autovalor, también es un autovector de a $X$ para el autovalor $\mu$ donde $2 (\mu + 1/4)^2 = 1/8 + \lambda$. Pero ya $1/8 + \lambda < 0$, $\mu$ no puede ser real. Ahora $v$ puede ser llevado a ser real (desde $A$ $\lambda$ real), por lo $X v = \mu v$ es imposible si $X$ es real.