¿En qué lugar de la jerarquía analítica se encuentra la teoría de conjuntos verdadera?

Question

¿En qué lugar de la jerarquía analítica se encuentra la teoría de todas las oraciones verdaderas en ZFC? ¿En la ZFC de orden superior? ¿En ZFC más axiomas cardinales grandes?

Edición: Parece que esto está mal definido. ¿Por qué está mal definido para ZFC, pero es cierto para teorías más débiles como la aritmética de Peano y la aritmética de orden superior?

Answer 1

Depende de lo que quieres decir con "true sentencias de ZFC."

Si te refieres a la serie de true sentencias en el lenguaje de la teoría de conjuntos, es decir, la teoría de la temperatura modelo de la teoría de conjuntos $V$ - a continuación, esto no es en el analítico de la jerarquía. Esto es debido a que en ZFC podemos definir la verdadera teoría de la $V_{\omega+1}$, que consiste, esencialmente, de la verdad de la analítica de las sentencias. Así que la teoría de la $V$ es estrictamente más complicado que cualquier cosa en el analítico de la jerarquía. De hecho, cualquier "razonable" jerarquía de no llegar a la complejidad de la teoría de la $V$, para una razón más fundamental: la teoría de la $V$ no puede ser definible en $V$, por Tarski del teorema! Por lo que cualquier complejidad, jerarquía, cuyos niveles son definibles, no se puede capturar $Th(V)$. Por ejemplo, $Th(V)$ no es

• la aritmética,

• analítica,

• $\Pi^m_n$ cualquier $m, n$ (tenga en cuenta que ya $\Pi^2_1$ escape de la aritmética, de la analítica, y mucho más)

• o computable de $Th(D, \in)$ para cualquier definibles por el conjunto de $D$. Tenga en cuenta que podemos tomar $D$ a ser algo así como "$V_\kappa$ para el primer inaccesible $\kappa$ " o similar con "inaccesible" reemplazar con cualquier otro definibles por el gran cardenal noción. Así que incluso $Th(V_\kappa, \in)$ para las "grandes" $\kappa$ es mucho, mucho menos complicada que la $Th(V)$.

Mientras tanto, exactamente lo complicado que $Th(V)$ depende de la $V$ - véase Mitchell respuesta.

Si, por otro lado, se entiende el conjunto de consecuencias de ZFC, entonces esto es sólo en el nivel de $\Sigma^0_1$ (o $0'$) - ni siquiera en el analítico de la jerarquía, sólo el primer trivial nivel de la jerarquía aritmética.

Answer 2

Deje $\Gamma$ el conjunto de las sentencias de ZFC que pasan a ser cierto. Dudo que usted puede determinar mucho sobre este conjunto, pero usted puede ver que es consistente con ZFC que $\Gamma$ es tan complicado como usted quiera.

Por ejemplo, el uso de Easton forzar, usted puede encontrar un modelo de $M$ de ZFC en el que $2^\kappa$ tiene todos los valores que desee para regular $\kappa,$ sujeta únicamente a las limitaciones que es un no-disminución de la función de $\kappa$$\kappa\lt \operatorname{cf}(2^\kappa).$, por Lo que para cualquier conjunto a $A\subseteq\omega$ (por ejemplo, recoger $A$ no en el análisis de la jerarquía en todos), se puede codificar $A$ en los valores de $2^{\aleph_n},$, y garantizar de esa manera que los $A$ es Turing-reducible a $\Gamma$ $M.$

Aquí está una manera en que la codificación podría funcionar: Definir $f(n)=n+1+\operatorname{card}(A\cap n),$ y, a continuación, organizar las cosas de modo que $2^{\aleph_n}=\aleph_{f(n)}$ todos los $n\lt\omega.$ (A ser totalmente exacta aquí, necesitamos asegurarnos de que no estamos cambiando el analítico de jerarquía por el hecho de forzar el argumento, así que empieza con un modelo de $V=L,$ y sólo un cambio de $2^{\aleph_n}$ $n$ suficientemente grande como para que nosotros no añadir nuevos reales o conjuntos de reales.)

Como en las grandes cardenales, el mismo que las obras de construcción ya que por lo general puede cambiar $2^{\aleph_n}$ $n\lt\omega$ sin perder ninguna de las grandes propiedades cardinales. (Y a partir de un modelo de GCH fue solo una conveniencia; no es esencial.)

Answer 3

La verdad ha de ser definido en relación a una intención de interpretación. Por desgracia, ZFC no tiene uno; en particular, la historia habitual que ZFC es concebido como una teoría de von Neumann universo no nos dicen que los grandes cardenales existen. Así que, en cierto sentido, no sabemos realmente lo que ZFC se supone que es "media".

Pero supongamos que usted decide que usted está interesado en la teoría de la $V_\kappa$ donde $\kappa$ es el menor cardinal inaccesible. Para definir $$T:=\mathrm{ZFC}+\mbox{(there exists an inaccessible)}.$$ Then $T$ ensures that there's a true theory of $V_\kappa$. You won't be able to prove much about it though; for example, you won't be able to decide whether or not GCH is an element of this theory. That's because in some models of $T$, the set $V_\kappa$ does satisfy GCH, and in other models of $T$, the set $V_\kappa$ no satisface la GCH.