Cauchy de secuencias, podemos controlar la velocidad a la que los elementos de "acercarse"?

Question

En Simon & Reed libro Métodos de la Moderna Física Matemática, está demostrado en el capítulo 1 (Teorema 1.12) que $L^1$ es completa (Riesz-teorema de Fisher). La prueba comienza de la siguiente manera:

Deje $f_n$ ser una secuencia de Cauchy de funciones en $L^1$. Es suficiente para mostrar que algunas larga converge (esto ha sido mostrado anteriormente), así que de paso a una larga (con la etiqueta de la misma manera) con $\left|\left|f_n-f_{n+1}\right|\right|_1\leq 2^{-n}$.

Esto despierta mis sospechas (aunque estoy segura de que va a ser malo): Podemos elegir una larga tal que $\left|\left|f_n-f_{n+1}\right|\right|_1\leq 2^{-n}$? Esto me parece extraño, porque parece que dicen algo acerca de la tasa de en el cual los elementos "acercarse" en virtud de esta norma (probablemente debería especificar que $\left|\left| f\right|\right|_1=\int \left| f \right| dx$), en lugar de simplemente decir que lo hacen arbitrariamente cerca en algún momento. En particular, parece decir que cada elemento progresivo es "dos veces tan cerca".

La definición de una secuencia de Cauchy dice que para cada $\epsilon>0$ podemos elegir y $N$ tal que $n,m>N$ implica $\left|\left| f_n-f_m\right|\right|_1=d(f_n,f_m)\leq\epsilon$ donde $d(\cdot,\cdot)$ es la métrica inducida por la norma. Esto, para mí, ¿ no parece el equivalente a decir que para cualquier estrictamente positivo $\epsilon(n)$ hay una larga tal que $d(f_n,f_{n+1})\leq \epsilon(n)$. ¿Estoy equivocada?

Answer 1

La clave de esta observación de la Caña y Simon es que estamos eligiendo una larga por un proceso en particular. Y se puede forzar a esta larga obedecer a un cierto "tasa de cercanía." Veamos cómo funciona en general.

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico arbitrario. Supongamos que $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia de Cauchy en $X$. En primer lugar, elegir un número entero $n_1 \in \mathbb{N}$, de modo que $n, m \ge n_1$ implica $d(x_n, x_m) < \frac{1}{2}$. Tenemos la capacidad para hacerlo, porque la $\{x_n\}$ es de Cauchy.

A continuación, elija $n_2 \in \mathbb{N}$, de modo que $n, m \ge n_2$ implica $d(x_n, x_m) < \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$ (de nuevo, podemos hacer esto porque $\{x_n\}$ es de Cauchy). De hecho, podemos seguir adelante y asumir $n_2 > n_1$, ya que cualquier entero $\tilde{n} > n_2$ también satisface la propiedad:

$$n,m \ge \tilde{n} \implies d(x_n, x_m) < \frac{1}{2}.$$

Ahora, hemos acabado el argumento por inducción. Supongamos que hemos elegido $n_1 < n_2 < \cdots < n_k$ con la propiedad de que

$$n,m \ge n_k \implies d(x_n,x_m) < \frac{1}{2^k}.$$

Observe en particular que esto significa $d(x_{n_i}, x_{n_{i+1}}) < \frac{1}{2^i}$ $i = 1, \dots, k-1.$

Entonces, justo como hicimos para el $n_2$ de los casos, tomamos $n_{k+1} > n_k$, de modo que $$n,m \ge n_{k+1} \implies d(x_n, x_m) < \frac{1}{2^{k+1}}.$$

Y esto implica $d(x_{n_k}, x_{n_{k+1}}) < \frac{1}{2^k}$. Así que de esta manera se construye un subsequence $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ que satisface la "tasa de cercanía" que deseamos.

Esta construcción de obras para el ejemplo que usted da si ponemos $X = L^1$, $d(f, g) = \|f-g\|_1$. La posibilidad de confundir la parte de la Caña y Simon es el reetiquetado de la larga. Básicamente, la Caña y Simon tirar los subíndices en la subsequence $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ y solo escribe la larga como $\{x_k\}_{k=1}^\infty$. Y esto es algo confuso, porque hace a la larga el aspecto de la secuencia original. Pero en realidad ahora son solo usando la larga.

Answer 2

Estamos de acuerdo en que la cuestión es si, por cualquier estrictamente positivo secuencia $(\epsilon(n))$, existe una larga $(f_{\varphi(n)})$ $(f_n)$ tal que $d(f_{\varphi(n)},f_{\varphi(n+1)})\leq \epsilon(n)$ por cada $n$.

La respuesta es "sí". Como recuerdo:

La definición de una secuencia de Cauchy dice que para cada $\epsilon>0$ podemos elegir y $N$ tal que $n,m>N$ implica $d(f_n,f_m)\leq\epsilon$.

Para cada una de las $n$, el uso de la definición de una secuencia de Cauchy con $\epsilon=\epsilon(n)$, llame a $N(n)$ un entero $N$ de manera tal que la condición en la definición tiene y deje $\varphi(n)=\max\{N(k);k\leqslant n\}$. De hecho, para cada $n$, $d(f_{\varphi(n)},f_{\varphi(n+1)})\leq \epsilon(n)$ como se desee.

Answer 3

Deje $\varepsilon_1 = 2^{-2}$. Deje $N_1$ ser tal que $n,m > N_1$ implica que el $\Vert f_n - f_m \Vert_1 \le \varepsilon_1$.

Ahora, tomar algunos de $k_1 > N_1$, y deje $f_{k_1}$ ser el primer elemento en la larga.

Ahora, podemos definir de forma recursiva la secuencia de la siguiente manera:

Deje $N_n, \varepsilon_n, k_n$ para $n \ge 1$.

Definir $\varepsilon_{n + 1} = \frac{\varepsilon_n}{2}$. (Como alternativa, tomar el $\varepsilon_n = 2^{-n - 1}$ todos los $n \ge 1$.)

Deje ${\hat N}_{n + 1}$ ser tal que si $m,\ell > \hat N_{n + 1}$,$\Vert f_m - f_\ell \Vert_1 < \varepsilon_{n + 1}$.

Definir $N_{n + 1} = \max(k_n, \hat N_{n + 1})$.

Entonces, si $m,\ell > N_{n + 1}$,$\Vert f_m - f_\ell \Vert_1 < \varepsilon_{n + 1}$$N_{n + 1} \ge \hat N_{n + 1}$. Por otra parte, tanto en $m$ $\ell$ son mayores de $k_n$.

Ahora, podemos tomar algunos $k_{n + 1} > N_{n + 1}$, y como ambos $k_{n + 1}$ $k_n$ son mayores de $N_{n}$,$\Vert f_{k_n} - f_{k_{n + 1}} \Vert_1 < \varepsilon_n = 2^{-n - 1}$,$k_{n + 1} > N_{n + 1} \ge k_n$.

Por ello, se construye una larga como se desee.

Answer 4

Esto se puede hacer. Vamos a empezar con la secuencia original $(f_n)$. Ya que estamos suponiendo que es de Cauchy, sabemos que para cada una de las $\epsilon >0$ hay un número $N$ que $k,l>N$ rendimientos $||f_k - f_l||_1 \leq \epsilon$. Lo que podemos hacer ahora es elegir a $\epsilon = 2^{-n}$ cualquier $n$ deseamos. Lo que nos garantiza, entonces, es un corte de $N_n$ que $||f_k-f_l||<2^{-n}$ cualquier $k,l>N_n$. En particular, esto funciona para $l=k+1$ si $k$ es elegido para ser mayor de $N_n$.

Teniendo en cuenta esto, a la larga de la que están hablando es generado por cada una de las $n$ al referirse a la definición de una secuencia de Cauchy y la elección de un determinado $k$$l$.