Estos polinomios en $e$ converge a 2$$f(i)=e^i - i \sum_{k=1}^{i-1}\frac{(i-k)^{k-1}{e^{i-k}}{(-1)^{k+1}}}{k!}, \text{ donde } i>1$$
Esta función llega a 2. He calculado este con sage matemáticas de la herramienta.
$$f(\infty) = 2$$
por ejemplo,
$$f(2)=e^2-2e=1.95249244... $$
$$f(3)=e^3-3e^2+\frac{3}2e=1.99579136... $$
$$f(4)=e^4-4e^3+4e^2-\frac{2}3e=2.000038... $$
$$...$$
$$f(10)=\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{1}{36288} \, e + \frac{2}{63} \, e^{2} - \frac{81}{56} \, e^{3} + \frac{128}{9} \, e^{4} - \frac{625}{12} \, e^{5} + 90 \, e^{6} - \frac{245}{3} \, e^{7} + 40 \, e^{8} - 10 \, e^{9} + e^{10} = 2.00000000...$$
No es esto interesante?
Estos polinomios en e (2.71828182845904523536...) converge a 2.
Sin embargo, no tengo idea de cómo demostrar matemáticamente este.
Supongo que esto habría sido ya demostrada, pero no tengo idea de donde puedo encontrar la prueba.
Les agradecería mucho si me puedes dar algunos tips o la prueba de esta convergencia.
Para obtener más información, esta función $f(i)$ es de otra función $h_i(x),\text{ si } x = 1$ de un problema original
$$ f(i) = h_i(1)$$
para demostrar la convergencia de las anteriores polynominals será el mismo como la demostración de $h_\infty(1) = 2$
He descubierto recientemente que la forma general de $h_i(x) función$ $$h_i(x) = (-1)^{i+1} e^x \left[\frac{1}{(i-1)!}{x}^{i-1} - \sum_{k=1}^{i-1}\left(α(k)\frac{{x}^{i-1-k}(-1)^{k+1}} {i-1-k)!}\right)\right] - α(i-1),$$ donde $$α(j) = \sum_{k=0}^{j-1}\frac{(j-k)^k}{k!}e^{j-k}(-1)^k$$
actualización de la lista de
- He encontrado esto: $ f(i)=α(i)−α(i−1) $
- He encontrado una nueva propiedad de $α(i)$ cuando $i > 1$, $$ α(i) = \sum_{k=0}^{i-2} \left( e \espacio α(k+1) espacio\\frac{(-1)^{i+k+2}}{(i-k-2)!} \right) + \frac{(-1)^{i+1} \espacio e}{(i-1)!},$$ donde $α(1) = e$.
