¿Por qué es $\sqrt {12} = 2 \sqrt 3$?

Question

¿Por qué $\sqrt {12} = 2 \sqrt 3$? ¿Es obvio? Si consideramos la función $f(s) = s^2 $ es inyectiva en números positivos por lo que obtenemos la conclusión. Pero al mismo tiempo es una igualdad entre números irracionales. Supongamos que conocemos para calcular las raíces cuadradas.

Answer 1

Supongamos que (a menos que la parte desea comprobada) que sólo es 1 positivo número $x$ con el % de propiedad $x^2=12$. A indicar ese número $\sqrt{12}$. Además deje que $\sqrt{3}$ ser el positivo $y$ tal que $y^2=3$.

Sabemos que $\Bbb R$ es un campo y por lo tanto la multiplicación es conmutativa. También sabemos que ya $2\gt 0$ y $\sqrt{3}\gt 0$ que $2\sqrt{3}\gt 0$. Entonces $$(2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) = (2^2)(\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3=12=\sqrt{12}^2 \\ \implies 2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ $

Answer 2

¿Por definición, $\sqrt3$ es el positivo número $s$ tal que $s^2=3.$ $\sqrt{12}$ la misma, es el positivo número $t$ tal que $t^2=12.$ la demanda, entonces, es que el $t=2s,$ pero es verdad? Bueno, $2s$ es un número positivo, ya que es un producto de dos números positivos. Por otra parte, $$(2s)^2=2^2s^2=4s^2=4\cdot 3=12.$$ Hence, $2s = t, $ como se desee.

Answer 3

Desde $$12 = 4\times 3 = 2^2 \times 3$ $ $$\sqrt{12} = \sqrt{2^2\times 3} = \sqrt{2^2}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ $

Answer 4

Vamos a considerar

\begin{aligned} f : \mathbf{R_+} &\to \mathbf{R_+}\\ x &\to x^2 \end{aligned}

a continuación, $f$ es bijection, para ello es estrictamente creciente.

$f(\sqrt{12}) = f(2\sqrt{3}) = 12$, lo $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Tenga en cuenta que $\sqrt{12}$ es sólo una notación, no hay ningún problema para denotar un número con diferentes notaciones. Por ejemplo, podemos utilizar también $[3, \overline{[2,6]}]$ , lo que significa ser una continuación de la fracción para denotar $\sqrt{12}$.