Hablando desde mi propia experiencia, no conozco una caracterización no trivial de cuándo un anillo cociente es finito.
En realidad, podría generalizar su pregunta preguntando "¿Cuándo es $R/P$ Artiniano", ya que un dominio artiniano es también un campo. No existe, que yo sepa, ninguna caracterización útil de cuándo $R/I$ es Artiniano.
Anillos para los que $R/J(R)$ es Artiniano se llaman anillos semilocales . Existe una caracterización ligeramente útil de los anillos semilocales conmutativos: son exactamente los anillos conmutativos con un número finito de ideales máximos.
Esto no generaliza tu post original, pero si $R/P$ es von Neumann regular , $R/P$ también es un campo.
Así que "¿cuándo es $R/I$ von Neumann regular?" es otra pregunta, pero de nuevo no parece haber ninguna caracterización útil. Anillos para los que $R/J(R)$ es von Neumann regular se llaman anillos semiregulares .
Como parece que te interesan los casos en los que los ideales primos resultan ser máximos, Te enlazo una caracterización de los anillos conmutativos cuyos ideales primos son todos maximales.
