Para cada número real $x$ hay un entero único $n_x$ de tal manera que $n_x \pi\le x<(n_x+1) \pi $ ; dejemos que $ \hat x=x-n_x \pi\in [0, \pi )$ y observen que $ \hat x$ es el elemento único de $[0, \pi )$ de tal manera que $ \tan\hat x= \tan x$ . Así, $\{ \tan k:k \in\Bbb N\}=\{ \tan\hat k:k \in\Bbb N\}$ . Deje que $D=\{ \hat k:k \in\Bbb N\}$ . Basta con mostrar que $D$ es denso en $[0, \pi )$ la función de la tangente es continua y mapea $[0, \pi )$ en $ \Bbb R$ así que $ \tan [D]=\{ \tan\hat k:k \in\Bbb N\}$ debe ser entonces denso en $ \Bbb R$ .
Tenga en cuenta que para cualquier $x,y \in\Bbb R$ , $ \hat x= \hat y$ iff $ \frac {x}{ \pi }- \frac {y}{ \pi } \in\Bbb Z$ . Así, en lugar de mostrar que $D$ es denso en $[0, \pi )$ podemos escalar todo por un factor de $1/ \pi $ y mostrar que $D_0=\{ \hat k/ \pi :k \in\Bbb N\}$ es denso en $[0,1)$ .
Esta es una buena aplicación del principio de encasillamiento. Deje que $n$ ser un entero positivo, y dividir $[0,1)$ en el $n$ subintervalos $ \left [ \frac {k}n, \frac {k+1}n \right )$ para $k=0, \dots ,n-1$ . Dos de los $n+1$ números $ \frac { \hat k}{ \pi }$ para $k=0, \dots ,n$ debe pertenecer al mismo de estos subintervalos; digamos $$ \frac { \hat k}{ \pi }, \frac { \hat\ell }{ \pi } \in\left [ \frac {i}n, \frac {i+1}n \right )\;,$$ donde $0 \le k< \ell\le n$ y $0 \le i<n$ . Luego $$0< \left | \frac { \hat\ell }{ \pi }- \frac { \hat k}{ \pi } \right |< \frac1n\ ;.$$ Deje que $m= \ell -k$ Entonces $ \dfrac { \hat m}{ \pi } \in\left [0, \dfrac1n\right )$ si $ \hat\ell - \hat k>0$ y $ \dfrac { \hat m}{ \pi } \in\left [1- \dfrac1n ,1 \right )$ si $ \hat\ell - \hat k<0$ .
En el primer caso, que $N$ ser el más pequeño entero positivo de tal manera que $ \dfrac {N \hat m}{ \pi }>1$ y en el segundo dejar $N$ ser el más pequeño entero positivo de tal manera que $N \left (1- \dfrac { \hat m}{ \pi } \right )>1$ . Entonces cada punto de $[0,1)$ está dentro $1/n$ de uno de los múltiplos $ \dfrac { \widehat {jm}}{ \pi }$ para $j=1, \dots ,N-1$ . Así, cada $x \in [0,1)$ está dentro $1/n$ de algún elemento de $D_0$ y desde que $n$ fue arbitraria, $D_0$ es denso en $[0,1)$ .
