Me gustaría hacer una pregunta sobre la que he estado reflexionando desde hace algún tiempo. ¿Cuál es el límite de: $f(x) = \sin(x)$ ya que $x$ tiende al infinito?
Como sabemos, la función tiene un valor definido para cada múltiplo de un valor incluido entre $0$ y $2\pi$, pero, ¿cómo podemos saber qué valor tendrá en el infinito?
Si $\sin x$ habría limitado $L$ para $x\to\infty$ entonces para cada secuencia $(x_n)$ tal que $x_n\to\infty$ tendríamos $$\lim\limits_{n\to\infty} \sin x_n=L.$$ En particular, este límite existiría y tendría el mismo valor para cada elección de dicha secuencia $(x_n)$ . (Véase, por ejemplo, aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Sequential_limits pero este teorema probablemente se mencionó en tu clase/libro de texto).
Si eliges $x_n= 2n\pi$ entonces este límite es igual $0$ .
Si eliges $x_n=\frac\pi2+2n\pi$ entonces este límite es igual a $1$ .
@max No estoy seguro de entender completamente tu pregunta, pero el punto era que ambos $2n\pi$ y $\frac\pi2+2n\pi$ tienden a $+\infty$ Así que en cierto sentido se puede decir que "son iguales en el infinito". (Lo que demuestra que $\sin x$ no se puede "extender continuamente" allí).
Bueno, si ambos son iguales en el infinito, eso significaría que dos valores diferentes no complementarios tuvieran el mismo valor del seno, lo que por supuesto no tendría sentido. Sin embargo, me preguntaba si existía algún tipo de definición formal.
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El seno no está definido en el infinito, y el límite ciertamente no existe. Véase es.wikipedia.org/wiki/Límite_(matemáticas)
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Gracias ¿Por qué no está definido en el infinito?
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En pocas palabras: por la misma razón que no se define para las manzanas u otras frutas variadas. Se podría asignar arbitrariamente $\sin(\text{apples})=1$ pero eso no tiene sentido.