como en el teorema de Pitágoras ángulo viene a 90 grados para el % de expresión $a^2 + b^2 = c^2$, sin embargo sé que no hay solución del número entero es posible.
Respuestas
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No hay un solo ángulo correspondiente a la relación de $a^3+b^3=c^3$.
Supongamos que un triángulo tiene lados de longitudes $a,b$, e $c$ tal que $a^3+b^3=c^3$. Sabemos por la ley de los cosenos que si $\theta$ es el ángulo opuesto al lado de la longitud de la $c$,$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$, por lo que
$$\cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\;.$$
Ahora veamos un par de ejemplos. Si $a=b=1$,$c=\sqrt[3]2$, e $$\cos\theta=\frac{2-2^{2/3}}2\approx0.20630\;.$$
Si $a=1$$b=2$,$c=\sqrt[3]9$, e $$\cos\theta=\frac{5-9^{2/3}}4\approx0.16831\;.$$
Si $a=1$$b=3$,$c=\sqrt[3]{28}$, e $$\cos\theta=\frac{10-28^{2/3}}6\approx0.12985\;.$$
Como se puede ver, estos valores de $\cos\theta$ son todos diferentes, por lo que los ángulos son también diferentes.
Danh000
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28
Stephan Aßmus
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16
Usted obtener ligeramente diferentes respuestas para el Teorema de Pitágoras en la superficie de una esfera de radio $1,$ o el plano hiperbólico de curvatura $-1.$ Sobre la esfera, de un triángulo rectángulo con geodésica longitudes de las piernas $a,b$ y la hipotenusa $c$ obedece $$ \cos c = \cos a \; \cos b, $$ mientras que en el plano hiperbólico con curvatura $-1$ se convierte en $$ \cosh c = \cosh a \; \cosh b. $$ En ambos casos, si usted escribe las funciones de alimentación de la serie en $a,b,c,$ usted puede ver que el límite de $a,b,c$ todos los que la reducción a casi la $0$ es el tradicional Teorema de Pitágoras.
marty cohen
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33863
Ampliación de Brian M. Scott respuesta, ya que la $\cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ y $c^3 = a^3+b^3$, $\cos\theta=\frac{a^2+b^2-(a^3+b^3)^{2/3}}{2ab} = \frac{1+(b/a)^2-(1+(b/a)^3)^{2/3}}{2} =\frac{1+r^2-(1+r^3)^{2/3}}{2} $ donde $r = b/a$.
La derivada del numerador es $2r-(2/3)(3r^2)(1+r^3)^{-1/3} = 2r - 2r^2(1+r^3)^{-1/3}$ que nunca es 0 ($(1+r^3)^{1/3} = r$) así que siempre es positivo (ya que su valor en 1 es $2-2/2^{1/3} > 0$).
Para la gran r, $(1+r^3)^{2/3} = r^2 (1+r^{-3})^{2/3} \aprox r^2(1 + (2/3)r^{-3}) = r^2 + 2/(3r) $ así $\cos\theta \approx \frac{1+r^2 - r^2 + 2/(3r))}{2} = \frac{1-2/(3r)}{2} $ que tiende a 1/2 para un gran $r$.
Esto puede tener un error, ya que me sería de esperar que se vaya a 1, pero me tengo que ir ahora, por lo que esto es.
