$\lim_{n\rightarrow \infty}n\left ( 1-\sqrt{1-\frac{5}{n}} \right )$
$\lim_{n\rightarrow \infty} n *\lim_{n\rightarrow \infty}\left ( 1-\sqrt{1-\frac{5}{n}} \right ) = \infty * \left ( 1-\sqrt{1-0} \right ) = \infty * 0 = 0$
¿Lo he hecho bien?
El problema es que cuando uso mi calculadora y pongo valores grandes para $n$ Me sale $2,5$ como resultado (si tomo valores muy muy grandes, es $0$ :D).
En fin, esto me hizo sentir un poco inseguro y por eso pregunto si lo hice bien.
En resumen: no No lo has hecho correctamente. La razón es que $\infty\cdot 0$ es uno de los indeterminado formas, no se puede concluir que sea igual a cero.
La razón es: puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, $$\begin{align} \underbrace{n}_{\to \infty}\cdot \underbrace{\frac{1}{n}}_{\to 0} &\xrightarrow[n\to\infty]{} 1\\ \underbrace{n^2}_{\to \infty}\cdot \underbrace{\frac{1}{n}}_{\to 0} &\xrightarrow[n\to\infty]{} \infty\\ \underbrace{n}_{\to \infty}\cdot \underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\to 0} &\xrightarrow[n\to\infty]{} 0\\ \underbrace{n}_{\to \infty}\cdot \underbrace{\frac{\cos n}{n}}_{\to 0} &\xrightarrow[n\to\infty]{} \text{ nothing (no limit)} \end{align}$$
Para resolver tu forma indeterminada, tienes que utilizar otras técnicas para "eliminar" ese problema. Expansiones de Taylor, multiplicación por un conjugado, regla de L'Hôpital... hay métodos conocidos y sistemáticos para hacerlo.
Por ejemplo, con las expansiones de Taylor: cuando $u\to 0$ , $$ \sqrt{1-5u} = 1-\frac{5}{2}u + o(u) $$ por lo que aplicarlo con $u\stackrel{\rm def}{=}\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ , $$\begin{align} n\left(1- \sqrt{1-\frac{5}{n}}\right) &= \frac{1}{u}\left(1- \sqrt{1-5u}\right) = \frac{1}{u}\left(1- 1 + \frac{5}{2}u + o(u)\right) = \frac{1}{u}\left(\frac{5}{2}u + o(u)\right)\\ &= \frac{5}{2} + o(1) \xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{5}{2}. \end{align}$$
Adenda: ¿por qué hace eso tu calculadora? La respuesta correcta es $\frac{5}{2}=2.5$ . Sin embargo, para los "muy grandes $n$ ", su calculadora devolverá $0$ en su lugar... y eso se reduce a precisión de la máquina . Supongo que empieza por computar el término $\sqrt{1-\frac{5}{n}}$ y luego introduce el resultado para obtener $1-\sqrt{1-\frac{5}{n}}$ y finalmente multiplica lo que queda por $n$ y emite el valor. Pero para las grandes $n$ debido a la precisión de la máquina y a los errores de redondeo, el primer paso estará tan cerca de $1$ que la calculadora sólo computará $1$ en lugar de $\sqrt{1-\frac{5}{n}}\approx 1 - \frac{5}{2n}$ . Así que entonces, $1-1=0$ y no importa el último paso debe hace, devuelve $n\cdot 0=0$ .
Vaya, muchas gracias por tu respuesta, tío. Taylor polynoms, he oído hablar de ellos pero nada más hasta ahora. Entonces debería aprenderlos para entender completamente tu post y resolver tareas como esa. Acabo de intentar resolverlo con L'Hôpital (es bueno saber que se puede usar para multiplicaciones también, pensaba que sólo estaba hecho para fracciones). Pero siempre termino con $0 * \infty$ ...No importa eso. Y muchas gracias por la aclaración con la calculadora ^.^
Me alegro de haber podido ayudar. Si te sientes más cómodo con esto, también puedes ver tu límite como el cálculo de una derivada. Establecer $$f(x) = \sqrt{1-5x}$$ para $x\in[-1,1]$ y mira $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{1-5x}-1}{x}$ . El límite en $0$ será $f'(0)$ ... pero ¿le suena la expresión (por ejemplo, considerando $x=\frac{1}{n}$ )?
¡Maldita sea, no había pensado en eso, en usar la fórmula del binomio! >.< ¡Muchas gracias por esto!
@cnmesr Esto no es realmente una aplicación de la fórmula del Binomio, más bien un caso de "racionalización del numerador".
Pero lo que usó es la fórmula del tercer binomio, ¿no? $(a+b)*(a-b)$ Ok creo que se puede llamar idea básica es la fórmula binomial, no estoy seguro.. :D Pero ahora he entendido tus dos respuestas y estoy muy contento de haberlo hecho, ahora puedo relajarme y seguir aprendiendo mañana. ¡Muchas gracias de nuevo a los dos! :)
No, no se puede hacer así: cuando se tiene un producto donde un factor tiene límite $\infty$ y el otro tiene límite $0$ No se puede aplicar un teorema sobre productos de límites.
El teorema ayuda cuando ambos límites son finitos y sólo hay que multiplicarlos; también funciona cuando uno de los límites es $\infty$ (o $-\infty$ ) y el otro es infinito o *finito y no $0$ ". También en este caso se puede "multiplicar": el límite será $\infty$ ou $-\infty$ , en función de los signos de los factores.
En lugar de la secuencia (que está implícita en el uso de $n$ ), intenta encontrar el límite de la función: $$ \lim_{x\to\infty}x\left(1-\sqrt{1-\frac{5}{x}}\right)= \lim_{t\to0^+}\frac{1-\sqrt{1-5t}}{t} $$ con la sustitución $x=1/t$ . Este límite es mucho más fácil de manejar; si existe, entonces la secuencia tendrá el mismo límite. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el límite de la función puede no existir mientras que el límite de la sucesión sí. En este caso, no: elija a continuación.
$$ \lim_{t\to0^+}\frac{1-\sqrt{1-5t}}{t} = \lim_{t\to0^+}\frac{1-(1-5t)}{t(1+\sqrt{1-5t})}= \lim_{t\to0^+}\frac{5)}{1+\sqrt{1-5t}}=\frac{5}{2} $$
$$ \lim_{t\to0^+}\frac{1-\sqrt{1-5t}}{t} = \lim_{t\to0^+}\frac{1-(1-\frac{5}{2}t+o(t))}{t} = \lim_{t\to0^+}\left(\frac{5}{2}+o(1)\right)=\frac{5}{2} $$
El límite es la derivada en $0$ de $f(t)=1-\sqrt{1-5t}$ y $$ f'(t)=\frac{5}{2\sqrt{1-5t}} $$ así que $$ f'(0)=\frac{5}{2} $$
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