¿La integrabilidad de $\log(f(x))$ implica $f(x)$ está limitado?

Question

Sea $f(x):(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ . Supongamos que $\int_a^b\log{f(x)}\,\mathrm{d}x<\infty$ ¿podemos afirmar que $0<f(x)<M<\infty$ a.e.. ¿Por qué sí y por qué no?

Answer 1

Pista: Considere $f\colon (0,1)\to \Bbb R, x\mapsto \dfrac{1}{x}$ .