¿Hay alguna fórmula para calcular $2^i$ por ejemplo? ¿$x^z$? Yo estaba navegando por diferentes páginas y no pude parece que encontrar una fórmula como de Moivre con $z^x$.
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- Comprender los exponentes imaginarios (6 respuestas )
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Anthony Shaw
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Por definición, para no exponentes racionales, $$ x^z=e^{z\log(x)} $$ Esta definición está bien como va, pero la limitación está en que los valores de$\log(x)$$x\in\mathbb{C}$. Desde $e^{2\pi i}=1$, logaritmos, como la recíproca de la función exponencial, son únicos, hasta un múltiplo entero de $2\pi i$.
Generalmente, cuando la base es un número real positivo, utilizamos el valor real de los logaritmos, por lo que $$ 2^i=e^{i\log(2)}=\cos(\log(2))+i\sin(\log(2)) $$ Sin embargo, si $2$ es visto como un número complejo, podríamos igualmente decir $$ 2^i=e^{i\log(2)-2k\pi}=e^{-2k\pi}\cos(\log(2))+ie^{-2k\pi}\sin(\log(2)) $$ para cualquier $k\in\mathbb{Z}$.
Studer
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Como con los reales, que desea definir $a^b$ $e^{b\log a}$. El logaritmo tiene problemas en el plano complejo (usted no puede hacerlo continuo) pero estas dificultades no son vistas por la exponencial.
La clave es la identidad $$ e^{it}=\cos t+i\,\sin t.$$ This allows you to define the exponential of any $z = s + $ mediante $$ e ^ z = e ^ {s +} = e ^ se ^ {se} = e ^ s\cos t + i\, e ^ t de s\sin. $$
En tu ejemplo concreto, tienes $$ 2 ^ i = e ^ {i\, \log 2} = \cos (\log 2) + i\, \sin (\log 2). $$
