¿Hay una prueba categórica que los subgrupos de grupos libres son libres? También eso abelian subgrupos de grupos abelian de gratis son gratis.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Depende de lo que entendemos por un categórico de la prueba. En cualquier caso, no sería una prueba de que es tan abstracto que funciona en cualquier algebraicas categoría, debido a que, como ya se ha mencionado en los comentarios) la afirmación de falla en muchos algebraicas categorías, por ejemplo los módulos, (propiedad conmutativa) anillos, álgebras de Lie.
Entre los debutantes de la categoría podría ser una concepción que, tan pronto como se han descrito algunos objetos conocidos y construcciones a través de la categoría de teoría, podemos utilizar esta gran maquinaria de la categoría de la teoría para resolver todos los problemas. Así, la categoría de la teoría de ayuda a resolver todos los problemas triviales a la vez (o revelan que los problemas son triviales) y ayuda a organizar las matemáticas que se necesitan para resolver los problemas, pero esto no significa que la categoría de la teoría por sí sola de hacer nuestro trabajo. En el final, todavía habrá algún trabajo concreto a realizar.
Mi favorito de la prueba de la Nielsen-Schreier es el Teorema de la caracterización de libre grupos como los grupos que actúan libremente en un árbol. En términos categóricos, hemos encontrado una clase de grupos de $\mathcal{S}$ de manera tal que un grupo de $G$ es libre si y sólo si $G$ es un subgrupo de un grupo en $\mathcal{S}$. De esto se sigue inmediatamente que los subgrupos de libre grupos son gratis. Pero la existencia de $\mathcal{S}$ no es abstracto tonterías.
