$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, continua, de tal manera que $xf(x)>0$ al $x\neq 0$. Mostrar que $f(0)=0$

Question

Tengo que probar:

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, continua, de tal manera que $xf(x)>0$ al $x\neq 0$. Mostrar que $f(0)=0$. Mostrar que si quitamos la continuidad de este resultado, se producirá. Dar un ejemplo.

Por ejemplo, yo pensaba que de $f(x) = x$. Este es functinuous, y $xf(x) = x^2>0$ al $x\neq 0$, pero no puedo hacer no continua versión de esta función para probar. Quizás $f(x) = \frac{x^2-2x}{x-2}$? Esta función no es continua en a $x=0$ pero es igual a $x$ todas partes, excepto en $x=0$, lo $xf(x)>0$ alambiques válido, pero en lugar de tener $f(0)\neq 0$ incluso no tenemos una definición para $x=0$. Tal vez si yo lo defino con cualquier número de $x=0$ funciona?

También, la prueba de este resultado?

Traté de considerar:

$$g(x) = f(x)-x$$

De alguna manera, si asumo $xf(x)>0$ necesito demostrar $g(0) = 0$, tal vez usando el teorema del valor intermedio. Alguna idea? Yo no puedo ver cómo $xf(x)>0$ ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA: Desde $xf(x)>0$ siempre $x\ne 0$, usted sabe que $f(x)>0$ al $x>0$, e $f(x)<0$ al $x<0$. (Por qué?) ¿Qué dice esto acerca de la $\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$?

Answer 2

$xf(x) > 0$ implica que el $f(x) > 0$ al $x$ es positiva y $f(x) < 0$ al $x$ es negativo.

Por el teorema del valor intermedio, debemos tener $f(c) = 0$ en algún valor entre negativo y positivo, ya sabemos que es distinto de cero en todas partes debe ocurrir en cero.

Answer 3

Desde $f$ es continua, si $f(0)=a\gt0$, entonces no es un $\epsilon\gt0$, de modo que para $|x|\le\epsilon$ $$ f(x)\ge\frac a2 $$ A continuación, para $-\epsilon\le x\lt0$, $$ xf(x)\lt0 $$ lo que contradice la hipótesis.

Si $f(0)=a\lt0$, entonces no es un $\epsilon\gt0$, de modo que para $|x|\le\epsilon$ $$ f(x)\le\frac a2 $$ A continuación, para $0\lt x\le\epsilon$, $$ xf(x)\lt0 $$ lo que contradice la hipótesis.

Por lo tanto, nos quedamos con la conclusión de que $f(0)=0$.

Answer 4

f(x) es negativa cuando x es negativo y positivo cuando x es positivo. Por intermedio teorema del valor f(0)=0.