$\kappa <\operatorname{cf}(2^\kappa)$ sin König de la desigualdad

Question

Cómo puedo probar $\kappa<\operatorname{cf}(2^\kappa)$ la desigualdad sin el uso de König es la desigualdad?
Tenemos esto como un ejercicio de práctica, pero no sé cómo acercarse a este sin König.
Cualquier sugerencia sería increíble!

He probado con diferentes otros Corolarios que he encontrado en Jech, pero nada que valga la pena para publicar aquí.

Answer 1

Esto se deduce de la $\kappa \lt \kappa^{cf(\kappa)}$ que puede ser probada sin Konig del teorema (ver, por ejemplo, Jech/Teoría de conjuntos Teorema 3.11).

Ahora para obtener la solicitada igualdad sustituto $2^\kappa$ en lugar de $\kappa$ y utilice el hecho de que $\kappa \le cf(2^\kappa)$ (que puede ser visto por asumir el contrario, y llegar a una contradicción de $2^{k * cf(2^\kappa)} \lt 2^{\kappa * \kappa}$).