Grado Infinito Campo Extensiones Algebraicas

Question

En I. Martín Isaacs Álgebra: Un Curso de Postgrado, Isaacs se utiliza el campo de los números algebraicos $$\mathbb{A}=\{\alpha \in \mathbb{C} \; | \; \alpha \; \text{algebraic over} \; \mathbb{Q}\}$$ como un ejemplo de un grado infinito algebraica de extensión de campo. He hecho una búsqueda en google y lo pensó por un rato, pero no puedo llegar con menos forzado ejemplo.

Mi pregunta es

¿Cuáles son algunos otros ejemplos de grado infinito algebraicas campo de las extensiones?

Answer 1

$\mathbb Q[\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 5, \cdots]$, obtenido por contigua a la raíz cuadrada de los números primos, es un ejemplo, porque si solamente utilizamos $n$ de los números primos, se obtiene una extensión de grado $2^n$.

Answer 2

El campo de los números algebraicos es importante, como lo es el campo de la real números algebraicos. Hay un montón de otros ejemplos de la misma naturaleza. El campo de la Euclidiana edificable números es una extensión del campo de los racionales, de grado infinito sobre los racionales, que viene de forma "natural".

Answer 3

Otro ejemplo sencillo es la extensión obtenidos por contigua todas las raíces de la unidad.

Desde que se adhiere a la primitiva $n$-ésima raíz de la unidad le da una extensión de grado $\varphi(n)$ $\varphi(n)=n-1$ al $n$ es primo, se obtiene algebraica de los números de forma arbitraria en gran medida cuando se acuestan todas las raíces de la unidad.

Answer 4

Cómo sobre el siguiente ejemplo: para cualquier campo $k$, considere la posibilidad de la extensión de campo $\cup_{n\geq 1} k(t^{2^{-n}})$ de materia $k(t)$ de funciones racionales. Esta extensión es algebraica y de dimensión infinita. La idea detrás de esto es bastante simple. Pero tengo que admitir que se requiere algo de trabajo para definir la extensión de rigor.

Answer 5

Deje $\{n_1,n_2,...\}$ ser pares coprime, no cuadrados enteros positivos. A continuación, $\mathbb{Q}(\sqrt{n_1},\sqrt{n_2},...)$ es una extensión algebraica de grado infinito.