Morfismo dominante, dimensiones iguales: ¿siempre finito?

Question

Sea $f:X\to Y$ sea un morfismo dominante de variedades (esquemas integrales separados de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado) tal que dim $X$ = dim $Y$ .

Pregunta: ¿f debe ser finito?

Parece que f debe tener fibras finitas mirando las dimensiones. Así que tal vez sea la misma pregunta si $f$ debe ser propia, porque fibras finitas + propia = finita. No estoy lo suficientemente familiarizado con los no-ejemplos estándar de properidad para tener una buena intuición sobre esto.

Por último, si supone alguna diferencia suponer que X e Y son cuasiproyectivas, por favor, hágalo.

Edit : Tras la respuesta de Steve a la pregunta original, me gustaría plantear la misma pregunta para un automorfismo $f:X\to X$ .

Answer 1

No, $f$ puede ser una inclusión de un conjunto abierto; por ejemplo, el morfismo correspondiente a la extensión (no módulo finito) $\mathbb{C}[x] \subseteq \mathbb{C}[x,x^{-1}]$ .

Editado a la luz de la edición de la pregunta:

Aquí hay otro tipo de cosas que pueden pasar: mira el mapa $(x,y) \mapsto (x,xy)$ de $\mathbb{C}^2$ a sí mismo. Evidentemente es dominante, pero no tiene fibras finitas (ya que la fibra sobre el origen es una recta). Apuesto a que se puede encontrar un ejemplo con fibras finitas que no es finito, pero no puedo pensar en uno en este momento.