Encontrar todas las funciones $f$ que asigna un número real $f(x)$ a cada número real $x$ . . .

Question

Encontrar todas las funciones $f$ que asigna un número real $f(x)$ a cada número real $x$ tal que $$(x+y)f(x)+f(y^2)=(x+y)f(y)+f(x^2)$$

He intentado subbing en los montones de valores, pero sigo recibiendo cosas como $f(0)=f(0)$ y otros inútil resultados.

Cualquier ayuda sería enormemente apreciada.

Answer 1

Poner $y = 1$

$$ (x+1)f(x) + f(1) = (x+1)f(1) + f(x^2)$$

Poner $y = 0$

$$ xf(x) + f(0) = xf(0) + f(x^2)$$

y restar último de la anterior, obtenemos

$$f(x) + f(1) - f(0) = x(f(1) - f(0)) + f(1)$$

y así

$$f(x) = x(f(1) - f(0)) + f(0)$$

Desde cualquier $f(x) = ax+b$ es una solución que se realizan.

Answer 2

Solución parcial:

1. Vamos $y=0, x=c(\neq 0)$: $cf(c)+f(0)=cf(0)+f(c^2)$

2. Vamos $y=0, x=-c$: $-cf(-c)+f(0)=-cf(0)+f(c^2)$.

Restando obtenemos $c(f(c)+f(-c))=c(2f(0))$, lo $f(c)+f(-c)=2f(0)$ para todos los distinto de cero $c$.

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Más solución parcial:
Reescribir como $f(x^2)-f(y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$, luego dividir ambos lados por $x^2-y^2$ conseguir $$\frac{f(x^2)-f(y^2)}{x^2-y^2}=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$

Si supiéramos que $f$ fue continuo, tomando límites de $y\rightarrow x$ nos encontramos con que $f'(x)=f'(x^2)$.