Distinguishability en Quantum Conjuntos

Question

Inspirado por esta pregunta: ¿ Son estos dos sistemas cuánticos distinguibles? y la discusión en el mismo.

Dado un conjunto de estados, la aleatoriedad de una medida de resultado puede ser debido a la clásica razones (la clásica distribución de probabilidad de los estados en conjunto) y quantum razones (una individual estado puede tener una superposición de estados). Debido a que un sistema clásico no puede estar en una superposición de estados, y, en principio, el estado puede ser medido directamente, la distribución de probabilidad es directamente medible. Por lo que cualquier distintas distribuciones de probabilidad son distinguibles. Sin embargo, en la mecánica cuántica, un número infinito de conjuntos diferentes pueden tener la misma densidad de la matriz.

¿Qué suposiciones son necesarias para demostrar que si dos conjuntos tienen inicialmente la misma densidad de la matriz, que no hay manera de aplicar el mismo procedimiento para ambos conjuntos y lograr la diferente densidad de las matrices? (es decir. que el 'redundante' información sobre qué parte del espacio de Hilbert es representado en el conjunto nunca es recuperable, ni siquiera en principio)

Relacionar a la que hace referencia la pregunta, por ejemplo si se podría generar una interacción que se desarrolló:

1) un conjunto de estados $|0\rangle + e^{i\theta}|1\rangle$, con una distribución uniforme en $\theta$

a

2) un conjunto de estados $|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle$ con un no-uniforme distribución en $\phi$

tal asignación de vectores en el espacio de Hilbert puede ser de 1-a-1. Pero no parece que se pueda hacer de un operador lineal.

Por lo que sugiere que probablemente podemos demostrar una respuesta a la pregunta utilizando sólo la suposición de que los estados son vectores en un espacio de Hilbert, y la evolución es un operador lineal.

Puede alguien de la lista de una prueba simple que muestra que dos conjuntos inicialmente con la misma densidad de la matriz, nunca puede evolucionar a dos diferentes matrices de densidad? Por favor, ser explícito con lo de los supuestos a hacer.

Actualización: supongo que para demostrar que son indistinguibles, también nos gustaría necesidad de demostrar que no unitario de la evolución como la proyección de una medición, no se puede permitir, eventualmente, uno para distinguir el conjunto subyacente. Tal como tal vez usando la correlación entre varias medidas o, posiblemente, en lugar de pedir algo con sólo dos respuestas, pidiendo algo más que dos, de modo que, finalmente, la distribución de respuestas que necesita algo más que la expectativa de valor para caracterizar los resultados.

Answer 1

Densidad de matrices son una descripción alternativa de la mecánica cuántica. En consecuencia, si dos conjuntos tienen la misma matriz de densidad, no son distinguibles.

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Como ejemplo, considere el no polarizada, el spin-1/2 matriz de densidad que puede ser modelado como un sistema que es la mitad de estados puros en la +dirección x y la otra mitad en la dirección-x, o, alternativamente, como la mitad de estados puros en la dirección +z (es decir, girar hacia arriba) y la otra mitad en la dirección z (es decir, girar hacia abajo):
$$\begin{pmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{pmatrix} = 0.5\rho_{+x}+0.5\rho_{-x} = 0.5\rho_{+z}+0.5\rho_{-z}$$ Ahora calcular el valor promedio de un operador $H$ con respecto a estos conjuntos. Vamos $$H = \begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}$$ a continuación, los promedios de los cuatro estados que participan son: $$\begin{array}{rcl} \langle H\rangle_{+x} &=& 0.5(h_{11}+h_{12}+h_{21}+h_{22})\\ \langle H\rangle_{-x} &=& 0.5(h_{11}-h_{12}-h_{21}+h_{22})\\ \langle H\rangle_{+z} &=& h_{11}\\ \langle H\rangle_{-z} &=& h_{22} \end{array}$$ A partir de lo anterior, es claro que si se toma el promedio de más de $\pm x$ le dará el mismo resultado que si se toma el promedio de más de $\pm z$, es decir, en ambos casos, el conjunto le dan un promedio de $$\langle H\rangle = 0.5(h_{11}+h_{22})$$

Preparación del sistema asciende a un operador que actúa sobre los estados y por lo $H$ puede presentarse para un funcionamiento general. Por lo tanto, no hay ninguna manera de distinguir un polarizada mezcla de +- x a partir de una polarizada mezcla de +-z.

El argumento general de la densidad de las matrices es similar, pero creo que este obtiene el punto a través.

Answer 2

Sólo se necesita asumir

1. la ecuación de Schrödinger (sí, el mismo viejo lineal de la ecuación de Schrödinger, por lo que la prueba no funciona por extraño no lineal cuántica-mecánica-como teorías).
2. el estándar de suposiciones acerca de las medidas (es decir, los Nacidos de la regla y la suposición de que después de medir un sistema que consigue que se proyectan en el espacio propio correspondiente al valor propio que mide)

Entonces es fácil mostrar que la evolución de un sistema cuántico sólo depende de su densidad de la matriz, de manera "diferente" de los conjuntos con la misma matriz de densidad en realidad no son distinguibles.

En primer lugar, se puede derivar a partir de la ecuación de Schrödinger, un tiempo de evolución de la ecuación para la densidad de la matriz. Esto muestra que si dos conjuntos tienen la misma matriz de densidad y están a la evolución de la unitarily, no se mide, entonces, ellos van a seguir teniendo la misma matriz de densidad en todos los tiempos futuros. La ecuación es $$\frac{d\rho}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left[ H, \rho \right]$$

Segundo, al realizar una medición en un conjunto, la distribución de probabilidad de la medición de los resultados sólo depende de la densidad de la matriz, y la densidad de la matriz después de la medición (de todo el conjunto, o de cualquier sub-conjunto para que el resultado de la medición era de algún valor específico) sólo depende de la densidad de la matriz antes de la medición.

Específicamente, considere la posibilidad de un general observables (que se supone que han discreta del espectro de la simplicidad), representada por un hermitian operador $A$. Vamos a la diagonalización de $A$ ser $$A = \sum_i a_i P_i$$ donde $P_i$ es el operador de proyección en el espacio propio correspondiente al autovalor (medición de resultados) $a_i$. Entonces la probabilidad de que el resultado de la medición es $a_i$ es $$p(a_i) = \operatorname{Tr}(\rho P_i)$$ Esto le da la completa distribución de probabilidad de $A$.

La matriz de densidad del conjunto completo después de que la medida se $$\rho' = \sum_i P_i \rho P_i$$ y la matriz de densidad de la sub-conjunto para que la medición del valor resultó ser $a_i$ es $$\rho'_i = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{Tr}(\rho P_i)}$$

Dado que ninguna de estas ecuaciones dependen de cualquier propiedad del conjunto distinto de su matriz de densidad (por ejemplo, los estados puros y las probabilidades de que el estado mixto es "compuesto"), la matriz de densidad es un completo y una descripción completa del estado cuántico del conjunto.