Series geométricas de un operador

Question

Al resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden $(1-D)y=x^2$ donde $D\equiv \frac{d}{dx}$ la forma en que aprendí fue que procedemos como $y=\frac{1}{1-D}x^2=(1-D)^{-1}x^2=(1+D+D^2+D^3+\cdots)x^2=x^2+2x+2+0+0+\cdots=x^2+2x+2.$

Ahora la pregunta que me viene a la mente es que qué justifica que digamos que $$(1-D)^{-1}=1+D+D^2+D^3+\cdots$$

Cuando le pregunté a mi profesor sobre esto me dijo que no es el caso que el operador inverso de $1-D$ es $1+D+D^2+D^3+\cdots$ (cuyo significado no está claro de todos modos). Lo que sí es cierto es que $$(1-D)(1+D+D^2+\cdots+D^m)x^m=x^m$$ y que realmente estamos utilizando este hecho.

Aunque lo entiendo, no estoy del todo satisfecho por dos razones. En primer lugar, la semejanza con la expresión de la serie geométrica debe estar ahí por una razón que quiero conocer. En segundo lugar, ¿se puede dar una norma adecuada a un espacio de funciones apropiado en el que podamos demostrar realmente que esta serie geométrica es cierta? (La respuesta a la segunda pregunta cubre también la primera).

Gracias

Answer 1

Creo que tu profesor tiene razón, y esto no tiene nada que ver con las series y/o normas. El espacio de polinomios de grado menor que un número fijo es de dimensión finita y en dicho espacio el operador $D$ es nilpotente y satisface la fórmula de su profesor.

Como otra forma de ver que tu truco funciona sólo para polinomios, observa que la solución de tu ecuación es $y=x^2+2x+2+ce^x$ con el último término perdido por el truco (que simplemente no funciona en el caso homogéneo).

Answer 2

Si las funciones se limitan a polinomios, entonces si el grado de $f$ es $n$ , $$ \mathrm{D}^{n+1}f=0 $$ Así, $$ \left(\mathrm{I}+\mathrm{D}+\mathrm{D}^2+\dots\right)f $$ converge (en realidad es una suma finita). De esta manera, $\mathrm{I}-\mathrm{D}$ es invertible en el conjunto de polinomios.

---

Formalmente, esta es una manera de ver el Fórmula de la suma de Euler-Maclaurin . Observa que en los polinomios, utilizando la fórmula de Taylor, $e^{\lambda\mathrm{D}}$ es el operador de desplazamiento: $$ \begin{align} f(x+\lambda) &=f(x)+\lambda\mathrm{D}f(x)+\frac1{2!}\left(\lambda\mathrm{D}\right)^2f(x)+\frac1{3!}\left(\lambda\mathrm{D}\right)^3f(x)+\dots\\ &=e^{\lambda\mathrm{D}}f(x) \end{align} $$ Así, $$ f(x)-f(x-1)=\left(1-e^{-\mathrm{D}}\right)f(x) $$ La idea de la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin es invertir $1-e^{-\mathrm{D}}$ . Dado que la serie de potencias para $1-e^{-x}$ no tiene ningún término constante, tenemos que utilizar $\frac{x}{1-e^{-x}}\frac1x$ . Es decir, formalmente, la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin es $$ \frac{\mathrm{D}}{1-e^{-\mathrm{D}}}\int f(x)\,\mathrm{d}x $$ y esto es exacto en polinomios (otras funciones tienen un término de resto que puede ser calculado de manera similar al término de resto para la serie de Taylor).