Cómo derivar una distribución de Poisson de la distribución gamma?

Question

Deje $T_1, T_2, \dots$ ser iid secuencia exponencial de las variables aleatorias con el parámetro $\lambda$. La suma de $S_n = T_1 + T_2 + \dots + T_n$ es una distribución Gamma. Ahora, como yo entiendo la distribución de Poisson se define por $N_t$ como sigue:

$$N_t = \max\{k: S_k \le t\}$$

¿Cómo puedo formalmente muestran que $N_t$ es una variable aleatoria de Poisson?

Cualquier sugerencia apreciado. Traté de trabajar a cabo una serie de pruebas, pero no puede llegar a la final de la ecuación.

Referencias

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Answer 1

Estoy seguro de que Durrett la prueba es agradable. Recta hacia adelante solución a la pregunta planteada es la siguiente.

Para $n \geq 1$

$$ \begin{array}{rcl} P(N_t = n) & = & \int_0^t P(S_{n+1} > t \mid S_n = s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t P(T_{n+1} > t-s) P(S_n \in ds) \\ & = & \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{(n-1)!} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{\lambda^n }{(n-1)!} \int_0^t s^{n-1} \mathrm{d} s \\ & = & e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \end{array} $$

Para $n = 0$ tenemos $P(N_t = 0) = P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$.

Esto no prueba que $(N_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Poisson, que es más difícil, pero sí muestra que la distribución marginal de $N_t$ es de Poisson con una media de $\lambda t$.