¿Cuál es la generalización de la regla de cocientes por mayor de derivados?

Question

Sé que el producto de la regla es generalizada por Leibniz la regla general y la regla de la cadena por Faà di Bruno fórmula, pero ¿y el cociente de la regla? Hay una generalización de lo análogo a estos? Wikipedia menciona tanto Leibniz la regla general y Faà di Bruno fórmula para el producto y la regla de la cadena, sino más bien nada por el cociente de la regla.

Answer 1

La respuesta es:

$\frac{d^n}{dx^n} \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right ) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k \tbinom{n}{k} \frac{d^{n-k}\left(f(x)\right)}{dx^{n-k}}}\frac{A_k}{g_{(x)}^{k+1}} $

donde:

$A_0=1$

$A_n=n\frac{d\left(g(x)\right)}{dx}\ A_{n-1}-g(x)\frac{d\left(A_{n-1}\right)}{dx}$

por ejemplo supongamos $n=3$:

$\frac{d^3}{dx^3} \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right ) =\frac{1}{g(x)} \frac{d^3\left(f(x)\right)}{dx^3}-\frac{3}{g^2(x)}\frac{d^2\left(f(x)\right)}{dx^2}\left[\frac{d\left(g(x)\right)}{d{x}}\right] + \frac{3}{g^3(x)}\frac{d\left(f(x)\right)}{d{x}}\left[2\left(\frac{d\left(g(x)\right)}{d{x}}\right)^2-g(x)\frac{d^2\left(g(x)\right)}{dx^2}\right]-\frac{f(x)}{g^4(x)}\left[6\left(\frac{d\left(g(x)\right)}{d{x}}\right)^3-6g(x)\frac{d\left(g(x)\right)}{d{x}}\frac{d^2\left(g(x)\right)}{dx^2}+g^2(x)\frac{d^3\left(g(x)\right)}{dx^3}\right]$

Relación con la Faa' di Bruno coefficents:

El $A_n$ tiene también una combinatoria forma, similar a la de la Faa' di Bruno coefficents (ref http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_di_Bruno).

Una explicación a través de un ejemplo (con dificultad para $g'=\frac{d\left(g(x)\right)}{dx}$, $g''=\frac{d^2\left(g(x)\right)}{dx^2}$, etc.):

Vamos que quieren encontrar $A_4$. Las particiones de 4 son: $1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 4, 2+2$. Ahora para cada partición, podemos usar la siguiente patrón:

$1+1+1+1 \leftrightarrow C_1g'g'g'g'=C_1\left(g'\right)^4$

$1+1+2+0 \leftrightarrow C_2g'g'g''g=C_2g\left(g'\right)^2g''$

$1+3+0+0 \leftrightarrow C_3g'g'''gg=C_3\left(g\right)^2g'g'''$

$4+0+0+0 \leftrightarrow C_4g''''ggg=C_4\left(g\right)^3g''''$

$2+2+0+0 \leftrightarrow C_5g''g''gg=C_5\left(g\right)^2\left(g''\right)^2$

con $C_i=(-1)^{(4-t)}\frac{4!t!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}$ (ref. de forma cerrada de la Faà di Bruno coefficents)

donde $t$ es el numers de partición de los elementos diferentes de $0$, e $m_i$ es el numer de yo.

Tenemos $C_1=24$ (con $m_1=4, t=4$), $C_2=-36$ (con $m_1=2, m_2=1, t=3$), $C_3=8$ (con $m_1=1, m_3=1, t=2$), $C_4=-1$ (con $m_4=2, t=1$), $C_5=6$ (con $m_2=2,t=2$).

Finalmente, $A_4$ es la suma de la fórmula encontrada para cada partición, es decir,

$A_4=24\left(g'\right)^4-36g\left(g'\right)^2g''+8\left(g\right)^2g'g'''-\left(g\right)^3g''''+6\left(g\right)^2\left(g''\right)^2$

Answer 2

Como otros ya han dicho, solo tendrá que aplicar la regla del producto a $f.g^{-1}.$ sin Embargo, el es un American Mathematical Monthly artículo sobre cómo NO hacerlo, que se puede encontrar instructivo.

Answer 3

He encontrado un pdf en línea que tuvo un resultado de una fórmula general para $$\frac{d^n}{dx^n} \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right ). $$

Aunque no puedo encontrar de nuevo el recurso (estoy buscando porque había una prueba), una fórmula es $$\frac{d^n}{dx^n} \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )=\frac{1}{g(x)} (f^{(n)}(x))-n! \sum_{j=1}^n \frac{g^{(n+1-j)}(x)}{(n+1-j!)} \frac{ \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right)^{{{(j-1)}}}} {(j-1)!}.$$ Now don't attribute this to me, as I referenced from a source I am trying to find again. It, for me, is impractical and apply the product rule for $f\cdot g^{-1}$ es mucho más fácil, pero creo que la fórmula general es bastante bueno saberlo.

Answer 4

Como otros han señalado, el cociente regla es en realidad una forma de un producto de la regla. Usando sólo regla de Leibniz para la obtención de las derivadas de orden mayor del producto de una función-echa un vistazo aquí.

http://en.wikipedia.org/wiki/General_Leibniz_rule

Answer 5

Cociente Regla es en realidad Producto de la Regla.

$D(u/v) = D(uw)$ donde $w = 1/v$.