La necesidad de la construcción de coequalizer en $\mathbf{Poset}$

Question

Mi pregunta puede ser dijo rápidamente:

Me gustaría ver una construcción de la coequalizer de dos arbitraria Poset morfismos (junto con una prueba de su veracidad, por supuesto).

Gracias!

---

(El material más allá de este punto es de dudoso valor; me proporcionan principalmente para mostrar la razón por la que he llegado a considerar a la pregunta anterior como suficientemente no-trivial, ciertamente no es un trivial de extensión de la análogas de construcción para el Conjunto. Si usted no necesita convencer de nada de esto, usted no perderá nada si usted lo pase.)

En general, la coequalizer objeto de las correspondientes funciones que no necesariamente pueden ser ordenados de manera de asegurar que el coequalizing mapa es de la orden de preservación. (En caso de que mi razonamiento es incorrecto, doy un ejemplo de lo que quiero decir al final de este post). Yo he llegado con "mejorar" las construcciones que el intento de poner remedio a las deficiencias del Conjunto de la construcción cuando se aplica a Poset, pero demostrando su corrección implica la exposición a dosis letales de tedio, que prefiero evitar.

Googlear para el problema de la construcción de coequalizers en Poset ha salido sorprendentemente poco (que, por supuesto, yo lo atribuyo a la letalidad de tedio). Si alguien puede me apunto a uno de esos construcción, y lo que es más importante, para una prueba de que el resultado de la coequalizing mapa es, de hecho, la orden de preservación, se lo agradecería.

Por CIERTO, en ch. 6 de Arbib & Manes, los autores dan un teorema que garantiza la admisibilidad de un mapa si hay un "óptimo de elevación" (en este caso) de su dominio. (He puesto esto en caso de que su terminología es lo suficientemente norma de carácter informativo para algunos de los lectores de este post, ya que A&M de la definición de este concepto depende de una buena cantidad de base preliminar.) Si entiendo su argumento, el problema de encontrar un "óptimo de levante", en este caso al menos, no se ve nada más fácil que el problema de la construcción de la coequalizer objeto en el primer lugar. (Tal vez lo que tienen en mente es que uno puede ser capaz de demostrar la existencia de un óptimo ascensor sin tener que construir, pero este me iba a encontrar muy insatisfactorio.)

Para un ejemplo simple de un Conjunto de coequalizer que no puede ser el fin de la preservación de, considerar los automorfismos $i \mapsto i$$i \mapsto i + 2$$\mathbb{Z}$, equipada con su pedido estándar (por lo tanto, estos son Poset morfismos). Su estándar Establecido coequalizer es el cociente de $\mathbb{Z}$ por la equivalencia de cierre de $\{\;(i, i + 2) \;|\; i \in \mathbb{Z}\;\}$. Si $q$ es la proyección canónica de $\mathbb{Z}$ a este cociente, entonces tenemos $q(i+1) \neq q(i) = q(i+2), \forall i \in \mathbb{Z}$, lo que descarta la existencia de cualquier orden, para el cociente que prestar $q$ orden de preservación.

Answer 1

Brian M. Scott comentario es más o menos una respuesta completa a la pregunta (cualquier cocone admite un mapa del conjunto de la teoría de la coequalizer con la obvia preorder y también, necesariamente, se derrumba de clases de equivalencia).

Me gustaría señalar que este es un argumento para trabajar en la categoría de pre-ordenes en lugar de la categoría de parque natural posets, ya que en la categoría anterior ya no necesita para realizar el cociente. Tenga en cuenta que el olvidadizo functor de posets las series que ha dejado adjoint (tomar el antichain en un conjunto), pero no tiene un derecho adjuntos; en consecuencia, se preserva límites, pero no se puede esperar para preservar colimits. Pero el olvido functor de pre-ordenes para conjuntos tiene la misma izquierda adjunto como anteriormente, sino que también tiene un derecho adjoint (hacer que cada elemento de un conjunto menor o igual a la de cualquier otro elemento), por lo que conserva los límites y colimits.