Otro de cómputo de la serie numérica (que suele ser insuficiente cuando se trata de la representación de una serie en un "buen" camino con un cómodo/estética constantes como $e,\pi,i,\gamma,$ etc.), los resultados de la mayoría de la convergencia/divergencia de las pruebas generalmente es sólo eso: un valor de verdad acerca de si la cosa converge o diverge. Por ejemplo, la Prueba de razón casi siempre le dice a usted acerca de la naturaleza de la convergencia, pero nada de esto está diseñado para revelar lo que la serie converge.
Por desgracia, no es trivial en absoluto para determinar lo que una serie converge. Antes de introducir un ejemplo, es la pena el tiempo para asegurarse de que todo el mundo está en la misma página. De todos los tipos de serie que encontrará en su estudio de la serie, "$p$- de la serie" son probablemente los más fáciles de determinar la naturaleza de la convergencia/divergencia. Un $p$-de la serie está en la forma $$ \zeta(p)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} $$ Some of you should recognize that the above series is really just the Reimann zeta function. It is worth mentioning what happens to $\zeta(p)$ when $p$ takes on certain values. If $p = 1$, we have what is known as the Harmonic Series which has very wide-ranging applications, particularly in music/acoustics. It turns out that even though the value decrease for each term in $\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$, the series does not converge. Several proofs can be found here, here, or here. The last source contains a nice poem by Jakob Bernoulli regarding the divergence of $\zeta(1)$.
De todos modos, también puede ser demostrado que los únicos valores de $p$ que $\zeta(p)$ converge son al $p>1$. Ahora es el momento para un ejemplo. Considere la posibilidad de un problema (conocido como Basilea Problema) que metió a muchas personas durante muchos años (hasta que Euler llegó [como siempre]): se puede mostrar fácilmente que $p$-series convergen al $p>1$. Así, un simple caso es al $p=2$. Entonces, ¿qué hace $$\zeta(2) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = ?$$ converge to? I don't want to spoil anything here for you or other curious readers. If you read this post and know the answer, please don't comment/allude to what the answer is right away. Let each reader(s) play around with it for a while and maintain the motivation to do some research on their own. After you can understand that $\zeta(2)$ converges to a somewhat famous closed-form expression, consider how you would determine a similar series for $\zeta(3), \zeta(4), \zeta(5),$ or even $\zeta(n)$ for some arbitrary $n>1$. Pronto se dará cuenta de que incluso, en apariencia inocentes, estamos-cierto-que-se-convergen serie, no se prestan fácilmente a respuestas obvias, y no digamos de forma cerrada!
