¿Alguien puede explicar por qué es verdad?
$$ \int_ {0}^{2 \pi } \left ( \sin nx- \sin kx \right )^2dx=2 \pi $$ para los números naturales $n,k$ con $n<k $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo que necesitas aquí es el siguiente hecho:
Para números enteros positivos $a$ y $b$ tenemos $$ \int_0^{2 \pi} \sin (ax) \cdot \sin (bx) \, dx = \begin{cases} 0, &a \neq b, \\ \pi, &a = b. \end{cases} $$
Prueba. Supongamos que $a \neq b$ entonces ambos $a-b$ y $a+b$ son distintos de cero. $$ \begin{align*} \int_0^{2 \pi} \sin (ax) \cdot \sin (bx) \, dx &= \int_0^{2 \pi} \frac{\cos((a-b)x) - \cos ((a+b)x) }{2} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin ((a-b)x)}{a-b} - \frac{\sin ((a+b)x)}{a+b} \right]_{x=0}^{x = 2 \pi} \\ &= 0, \end{align*} $$ desde $\sin k\pi = 0$ . Por otro lado, si $b=a$ entonces $$ \begin{align*} \int_0^{2 \pi} \sin^2 (ax) \, dx &= \int_0^{2 \pi} \frac{1 - \cos (2ax) }{2} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin (2ax)}{2a} \right]_{x=0}^{x = 2 \pi} \\ &= \pi. \end{align*} $$
Una vez establecido este hecho, todo lo que hay que hacer es expandir el producto dentro de la integral e integrar término a término: $$ \int_0^{2 \pi} \left( \sin^2 nx + \sin^2 kx - 2 \sin nx \cdot \sin kx \right) \, dx = \pi + \pi - 2 \cdot 0 = 2 \pi. $$
