¿Dos métodos para integrar?

Question

¿Son correctos ambos métodos para resolver esta ecuación?

$$\int \frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}} dx$$

Método uno: $$u=2x^2$$ $$\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1^2 + \sqrt{u^2}}} du$$ $$\frac{1}{4}log(\sqrt{u}+\sqrt{{u} +1})+C$$ $$\frac{1}{4}log(\sqrt{2}x+\sqrt{2x^2+1})+C$$

Segundo método $$u=1+2x^2$$ $$\frac{1}{4}\int\frac{du}{\sqrt{u}}$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{u}+C$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{1+2x^2}+C$$

No entiendo por qué recibo dos respuestas diferentes.

Answer 1

Su primer método no es correcto. Sospecho que está intentando utilizar el siguiente resultado lo cual no es correcto en general : $$\int\frac{1}{f(x)}dx = \log f(x)+C.$$

La forma correcta sería $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log f(x)+C,$$ que no puedes usar en tu ejemplo porque el denominador de tu integrando no es una función lineal de $x$ .

Answer 2

Otro más para divertirse ;-)

Set $x=\frac{1}{\sqrt 2}\sinh(u)$ entonces, $$\int^t\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}dx=\frac{1}{ 2}\int^{\text{argsinh}(\sqrt 2 t)}\frac{\cosh(x)\sinh(u)}{\sqrt{1+\sinh^2(u)}}du=\frac{1}{ 2}\int^{\text{argsinh}(\sqrt2 t)}\frac{\cosh(u)\sinh(u)}{\cosh u}du=\frac{1}{ 2}\int^{\text{argsinh}(\sqrt2 t)}\sinh(u)du=\frac{1}{2}\cosh\left(\text{argsinh}(\sqrt 2 t)\right)+C=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+1}+C.$$

Pero no es la forma más corta de calcularlo.

Answer 3

La segunda respuesta es correcta. El error en el primer método es que su cálculo de la integral (después de la sustitución) es erróneo.

Se mantiene:

$\int\frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1+u}}du=\frac{1}{4}\int(1+u)^{-\frac{1}{2}}u=\frac{2}{4} \sqrt{1+u} +C_2=\frac{1}{2}\sqrt{1+2x^2}+C_2$

Answer 4

En el método 1 tienes un error. Si $$u=2x^2$$ $$x=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{2}}$$ $$dx=\frac{1}{2 \sqrt{2} \sqrt{u}}$$ y $$\int \frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}} dx=\frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{u+1}}=\frac{\sqrt{u+1}}{2}$$

Answer 5

En primera tienes:

$$\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1+u}}du=\frac{1}{4}log(\sqrt{u}+\sqrt{{u} +1})+C$$

Debería serlo:

$$\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{1+u}}du=\frac{1}{4}\int(1+u)^{-\frac{1}{2}}du=\frac{1}{4}\cdot 2 \sqrt{1+u}+C$$