demostrando que $S_n$ es de Cauchy.

Question

$$S_n = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} $$ Mostrar que $(S_n)$ es una secuencia de Cauchy y, por tanto, que converge al límite de $L$. Mostrar que $\frac{2}{3} < L < \frac{13}{15}$

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Para mostrar que $(S_n)$ es de Cauchy de la secuencia,

He intentado $|S_n - S_m| < \epsilon$

Deje $n = m+k$

$|S_n - S_m|$

$ = |\frac{(-1)^{m+2}}{2(m+1)-1}+ ... + \frac{(-1)^{m+k+1}}{2(m+k)-1}|$

Ahora no sé a dónde ir desde aquí.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia : Para mostrar que es de Cauchy, se combinan los términos adyacentes en $ \left|{ S }_{ n } - { S }_{ m } \right|$ y el resto es obvio. O por Leibniz en la prueba.

Para demostrar que el límite cae en un intervalo de tiempo, usted necesita demostrar que los términos raros $ { S }_{ 2k+1 } $ están disminuyendo y los términos de $ { S }_{ 2k } $ están aumentando. Usted puede mostrar esto por simple resta. Luego se sigue naturalmente que las condiciones son siempre más pequeños que los términos raros porque convergen al mismo límite. Suma de los primeros términos, hasta que dos términos consecutivos de caída en el intervalo, y podrás hacerlo.