Mejor pruebas que Rudin ' s para la inversa y teoremas de la función implícita

Question

Me estoy encontrando Rudin las pruebas de estos teoremas muy poco intuitivo y difícil de recordar. Puedo entender y seguir tanto como yo trabajo a través de ellos, pero si se me pidiera una semana más tarde para demostrar que uno o el otro, yo no podía hacerlo.

Por ejemplo, el uso de una asignación de contracción en el teorema de la función inversa parece requerir de uno a memorizar, por lo menos, que no es evidente (al menos para mí) función (es decir. $\phi(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{A}^{-1}(\mathbf{y}-\operatorname{f}(\mathbf{x}))$) y constante (es decir. $\lambda^{-1} = 2 \Vert \mathbf{A}^{-1}\Vert$), donde $\mathbf{A}$ es el diferencial de $\operatorname{f}$ en $\mathbf{a}$.

El teorema de la función implícita de la prueba, mientras que no es tan malo, también requiere la construcción de una nueva función sin sugerencias en cuanto a lo que es la motivación.

He buscado en las preguntas anteriores en este sitio y no he encontrado esta dirigido, así que pensé en preguntar. Hice finnd esta prueba un enfoque más intuitivo para el teorema de la función inversa, pero quisiera ver qué pruebas son las preferidas por los demás.

Answer 1

Supongamos que queremos encontrar la inversa de la asignación de $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$, cerca de un punto de $x_o$ que $F'(x_o)$ es invertible. La derivada (matriz Jacobiana) proporciona una forma aproximada para el mapa de $F(x) = F(x_o)+F'(x_o)(x-x_o)+\eta$. Si establece $y = F(x)$ y omitir el término de error $\eta$ a continuación, la solución para que $x$ nos da la primera aproximación a la inversa de la asignación. $$ x = x_o+[F'(x_o)]^{-1}(y-F(x_o)). $$ A continuación, se itera. Los detalles técnicos son simplemente para asegurar de esta iteración de hecho converger a la inversa de la asignación, pero en el inicio, se trata simplemente de usar la derivada para linealizar el problema.

No sé si esto ayuda o no, pero realmente el enfoque es casi la fuerza bruta, a invertir $F(x)=y$, ¿qué hacer? Resolver por $x$. No se puede hacer de manera abstracta por $F$ así que en lugar de resolver el siguiente mejor cosa, la linealización. A continuación, la belleza de la contracción de la técnica de asignación completa el argumento.

Answer 2

La otra respuesta se ocupa del Teorema de la Función Inversa caso. Por lo tanto, te voy a dar "otra" prueba del Teorema de la Función Implícita. (Tenga en cuenta que he invertido el orden de $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$, en comparación con Rudin)

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Considere el diagrama conmutativo

donde $F(x,y)=\big(x,f(x,y)\big)$. Por el Teorema de la Función Inversa, se deduce que a nivel local, tenemos

Debido a la cantidad de $F$ es definido, la conmutatividad del diagrama anterior es evidente. Debido a la cantidad de $F$ es definido y debido al hecho de que es invertible en el barrio, la existencia de $g$ es clara, y $g=\pi_2 \circ F^{-1} \circ i$ es también claro. Desde $g=\pi_2 \circ F^{-1} \circ i$, $g$ es $C^1$. El resto del Teorema de la Función Implícita de la siguiente manera por el uso de la composición de la diagonal flechas.

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En cuanto a por qué asumir la función $F$ es, sólo tenga en cuenta que la prueba es básicamente encontrar una función $F$, hacer que todo viaje. La elección de $F$ es la natural (de hecho, prácticamente impuesta) para hacer que eso suceda.