La desigualdad. $\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}} \geq 1$

Question

Demostrar que :

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}} \geq 1$$ si $x^2+y^2+z^2 \leq9$ .

Intento aplicar Cauchy-Buniakowski y obtengo lo siguiente:

$$\sum_{x,y,z}{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}}\cdot \sum_{x,y,z}{\left(\sqrt{x^2+yz+3}\right)}\geq 9$$

Así que tengo que demostrar que : $$\displaystyle\frac{9}{\sum_{x,y,z}{\left(\sqrt{x^2+yz+3}\right)}} \geq 1$$ si $x^2+y^2+z^2 \leq9$ .

Otro intento : $$\left(\sum_{x,y,z}{\sqrt{x^2+yz+3}}\right) \leq \sqrt{\left(\sum{x^2+yz+3}\right)(1+1+1)} $$ así que tenemos que demostrarlo:

$$\frac{9}{\sqrt{\left(\sum{x^2+yz+3}\right)(1+1+1)}} \geq 1$$ por lo tanto:

$$3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+9) \leq 81$$ o

$$(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+9) \leq 27$$ o

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \leq 18$$

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \leq 2\left(x^2+y^2+z^2\right) \leq 2 \cdot 9 =18.$$

Sí, está bien :)

gracias :)

Answer 1

Intento aplicar Cauchy-Buniakowski y obtengo lo siguiente:

$$\sum_{x,y,z}{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}}\cdot \sum_{x,y,z}{\left(\sqrt{x^2+yz+3}\right)}\geq 9$$

Así que tengo que demostrar que : $$\displaystyle\frac{9}{\sum_{x,y,z}{\left(\sqrt{x^2+yz+3}\right)}} \geq 1$$ si $x^2+y^2+z^2 \leq9$ .

$$\left(\sum_{x,y,z}{\sqrt{x^2+yz+3}}\right) \leq \sqrt{\left(\sum{x^2+yz+3}\right)(1+1+1)} $$ así que tenemos que demostrarlo:

$$\frac{9}{\sqrt{\left(\sum{x^2+yz+3}\right)(1+1+1)}} \geq 1$$ por lo tanto:

$$3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+9) \leq 81$$ o

$$(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+9) \leq 27$$ o

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \leq 18$$

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \leq 2\left(x^2+y^2+z^2\right) \leq 2 \cdot 9 =18.$$

Answer 2

He encontrado una prueba más fácil: Sea $a=\sqrt{x^2+xy+3}$ y $b,c$ etc. Como $xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\leq 9$ sabemos que $a^2+b^2+c^2\leq 27$ . Entonces $3(abc)^{\frac{2}{3}}\leq a^2+b^2+c^2\leq 27$ es decir $(abc)^{\frac{1}{3}}\leq 3$ . Entonces \begin{align} LHS&=\sum_{cyc}\frac{1}{a}\\ &=\frac{ab+bc+ac}{abc}\\ & \geq\frac{3(abc)^{\frac{2}{3}}}{abc}\\ &= 3(abc)^{-\frac{1}{3}}\\ &\geq 1. \end{align}