Cómo calcular la siguiente integral?

Question

$$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx$$

Traté de dejar a $x=\tan\theta\ $ donde$\frac{-\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$, de modo que $dx = \sec^2\theta\,d\theta$ y después de realizar la sustitución de uno se pone a $$\int\frac{\sec^3\theta}{\tan\theta} d\theta$$ which is equivalent to $$\int\frac{1}{\cos^2\theta\sin\theta}d\theta$$

Después de esto, no sé cómo proceder. He intentado buscar la misma integral en otros lugares y he encontrado una solución que consiste en un método llamado parcial fracción de descomposición, creo. Pero, no me han enseñado que el método, sin embargo, y esta integral aparece en la sección del libro que actualmente estoy trabajando.

Answer 1

La mejor manera sería empezar con André Nicolas de sustitución. Pero voy a tomar desde donde la dejó. Hasta el momento, no veo cómo evitar la fracción parcial de la descomposición (Edit: Ahora que veo, y lo tienes).

Podemos reescribir el integrando de la siguiente manera: $$ \frac{1}{\cos^2\theta\sin\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta\sin^2\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)} $$ Ahora sólo tenemos que utilizar la sustitución de $u=\cos\theta$. Esto produce que la integral de una función racional. Es decir, $$ \int \frac {du}{u^2(1-u^2)}=\int \frac{du}{u^2(u^2-1)} $$ Después de la descomposición en fracciones parciales, se tiene $$ \int \left(-\frac{1}{u^2}+\frac{1/2}{u-1}-\frac{1/2}{u+1}\right)du=\frac{1}{u}+\frac{1}{2}\ln \left| \frac{u-1}{u+1}\right| + C $$ Por último, volviendo a $x$, obtenemos $$ \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1-\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+1}} \right|+C = \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln \left( \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1} \right)+C $$

Answer 2

$x = \tan u$

$dx = \sec^2u \,du$

Uso de la identidad $\sec^2u = \tan^2u + 1$

$\sqrt{x^2 + 1 } = \sqrt{\tan^2(u) + 1} = \sqrt{\sec^2u} = \sec u$, $u = \tan^{-1}x$

Configurar su integral con las sustituciones apropiadas:

$$\int \csc u \sec^2 u \,du $$ $$= \int (1 + \tan^2 u)\csc u\,du $$ $$= \int \csc u + \tan^2 u \csc u\, du $$ $$= \int \csc u \,du + \int \tan u \sec u \,du $$

Se puede sustituir de nuevo...Para el integrando $\tan u \sec u$:

Deje $t = \sec u, ds = \tan u \sec u$...

Answer 3

Lo resuelto, la expresión anterior es equivalente a $$\int\frac {\sec\theta}{\tan\theta}d\theta + \int\sec\theta\tan\theta\ d\theta = \int\csc\theta\ d\theta + \sec\theta + C$$

Y sabemos que $$\int\csc\theta\ d\theta = \ln|\csc\theta - \cot\theta| + C_1$$ After substituting for the original variable, we get $$\ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x}\right| + \sqrt{x^2+1} + C_2$$

Answer 4

Sumar y restar $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ a el integrando: $$ \begin{aligned} \int\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\,\mathrm{d}x + \int\frac{\mathrm{d}x}{x}&=\ln\left|x\right| + \int \frac{\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2 +1}+1\right)}{x\left(\sqrt{x^2 +1}+1\right)}\,\mathrm{d}x \\ &= \ln \left|x \right| + \int\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}+1}\,\mathrm{d}x \end{aligned} $$ Ahora, establezca $u = 1 + \sqrt{x^2 +1}$ $x\,\mathrm{d}x = \left(u-1\right)\,\mathrm{d}u$ obtener $$ \begin{aligned} \ln\left|x\right| + \int \frac{u-1}{u}\,\mathrm{d}u &= \ln\left|x\right| + u - \ln\left|u\right| + C_{0}\\ &=u + \ln\left|\frac{x}{u}\right| + C_{0} \\ & = \sqrt{1 + x^2} + \ln\left|\frac{x}{1 + \sqrt{1+x^2}}\right| + \underbrace{1 + C_{0}}_{C} \\ &=\sqrt{1+x^2} + \ln\left|\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right| + C \end{aligned} $$

Y hemos terminado. :)