Puedo solucionar límite de registro natural sin el uso de la Regla de L'Hospital

Question

Quiero encontrar el siguiente límite: $$\lim_{x\to 2} \dfrac{\ln(x+3)-\ln(5)}{(x-2)}$$ pero, ¿podemos encontrar el límite sin el uso de L'Hospitals Regla? Es una forma indeterminada, pero no sé cómo volver a escribir.

Answer 1

Tenemos $$\lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x+3)-\ln(5)}{x-2} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(5+h)-\ln(5)}{h} = \lim_{h \to0} \dfrac{\ln(1+h/5)}h = \dfrac15$$ donde hemos hecho uso de el hecho de que $\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}y=1$.

Answer 2

Es una manera de darse cuenta de que por la definición de este límite es la derivada de la función $f(x)=\ln(x+3)$$x=2$. Suponiendo que ha cometido un error tipográfico por $x \to 3$.

Answer 3

Bernoulli la Desigualdad dice que para$n\ge1$$x\ge-n$, $$ 1+x\le\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, para todos los $x$, tenemos $$ 1+x\le\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\etiqueta{2} $$ Sustituyendo $x\mapsto-\frac{x}{1+x}$ da $\frac1{1+x}\le e^{-\frac{x}{1+x}}$, lo que implica $e^{\frac{x}{1+x}}\le1+x$.

Así, por $x\gt-1$, $$ \frac{x}{1+x}\le\log(1+x)\le x\etiqueta{3} $$ Dividiendo por $x$ rendimientos, por $x\gtrless0$, $$ \frac1{1+x}\lessgtr\frac{\log(1+x)}x\lessgtr1\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, por el Teorema del encaje, $$ \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}x=1\etiqueta{5} $$

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Por lo tanto, debido a $\frac{x-2}5\to0$$x\to2$, $$ \begin{align} \lim_{x\to2}\frac{\log(x+3)-\log(5)}{x-2} &=\frac15\lim_{x\to2}\frac{\log\left(1+\frac{x-2}{5}\right)}{\frac{x-2}5}\\ &=\frac15\tag{6} \end{align} $$